Nutzen der gleichmäßigen Konvergenz (Integral)

25.05.2011, 13:48

tim-buktu

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Nutzen der gleichmäßigen Konvergenz (Integral)

Meine Frage:
Hi,
Ich habe folgendes Problem ich soll zeigen, dass die Funktion gleichmäßig konvergiert. Nur leider finde ich keinen geeigneten Ansatz für eine Konvergenz, da die Funktion meiner Meinung nach keine Nullfolge ist

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_1^\pi \! \frac{cos\frac{x}{n} }{1*e^{-xn}} \, dx \end{eqnarray*}$

25.05.2011, 13:58

Mazze

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Zitat:

da die Funktion meiner Meinung nach keine Nullfolge ist

Und das soll hinreichend für was sein? Es gibt mehr konvergente Folgen als nur 0-Folgen.

Meinst Du nicht eher

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{\cos\left(\frac{x}{n}\right)}{\exp(xn)} \end{eqnarray*}$

?

Denn das was Du da hast konvergiert nicht mal punktweise auf [1,pi].

25.05.2011, 14:14

tim-buktu

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danke für deine Antwort
aber das stimmt wie es dort steht mit dem e^-xn

ach stimmt hab nur Hinreichend daran gedacht^^ die reihe wurde nach den qutienten und denn wurzelkriterium aber auch Divergieren

MFG

Tim-Buktu

25.05.2011, 14:20

tim-buktu

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hab gemerkt ,dass ich doch einen Fehler gemacht habe, das mal muss durch ein minus ersetzt werden
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_1^\pi \! \frac{cos\frac{x}{n} }{1-e^{-xn}} \, dx \end{eqnarray*}$ [/quote]

25.05.2011, 14:23

Mazze

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{\cos\left(\frac{x}{n}\right)}{\exp(-xn)} = \lim_{n \to \infty}\cos\left(\frac{x}{n}\right)\exp(nx) \end{eqnarray*}$

Und hier sieht man schon dass es keine Funktion geben kann, die punktweiser Grenzwert wäre. Der Cosinus ausdruck geht gegen 1, egal für welches x. Der Expausdruck geht gegen unendlich für positive x und gegen 0 für negative. Nur negative x betrachten wir hier nicht ( [1,pi] )

Zitat:

hab gemerkt ,dass ich doch einen Fehler gemacht habe, das mal muss durch ein minus ersetzt werden

Und aufeinmal wird das Ding gleichmäßig konvergent smile

smile

edit :

Schätze den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{\cos\left(\frac{x}{n}\right)}{1 - \exp(-xn)}\right| \end{eqnarray*}$

geeignet ab um die Gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Danach kannst Du den Grenzwert ins Integral ziehen.

25.05.2011, 14:29

tim-buktu

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wie kammst du aufem Nenner (was ist denn mit der 1 passiert ich habe das so umgeformt e^-nx (e^nx -1)

hat sich geklärt^^

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25.05.2011, 14:39

tim-buktu

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$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{\cos\left(\frac{x}{n}\right)}{1 - \exp(-xn)}\right|\leq sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{\cos\left(\frac{x}{n}\right)}{ \exp(xn)}\right|= \frac{cos\frac{1}{n} }{e^{n}} \end{eqnarray*}$

wurde es so gehen

25.05.2011, 14:44

Mazze

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Nein, so geht das nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} 1 -\exp(-xn) \leq \exp(xn) \end{eqnarray*}$ damit ist deine Abschätzung falsch. Ich würde einfach den Betrag des Cosinus gegen 1 abschätzen. Dann hast Du im Nenner eine monoton steigende Funktion übrig. Das Supremum ist dann also leicht zu bestimmen.

25.05.2011, 14:56

tim-buktu

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$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{cos \frac{x}{n} }{1 - \exp(-xn)}\right|\leq sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{1}{ 1-\exp(-xn)}\right|= \frac{1 }{1-e^{-n}} \end{eqnarray*}$

kann ich es so machen (da ja |cos| max = 1 ist)

25.05.2011, 14:58

Mazze

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Freude

Sehr schön. Eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ (Funktionen auf D definiert) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in D}\left| f_n(x) - f(x)\right| = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Welche Funktion wäre das bei uns ?

25.05.2011, 15:11

tim-buktu

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Zitat:

Original von Mazze
Freude

Freude

Sehr schön. Eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ (Funktionen auf D definiert) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in D}\left| f_n(x) - f(x)\right| = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Welche Funktion wäre das bei uns ?

wäre es dann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in D}\left| f_n(x) - 0 \right| = 0 \end{eqnarray*}$

und das integral ware 0 dx da die reihe gleichmäsig gegen 0 konvergiert oder

25.05.2011, 15:12

Mazze

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Was kommt den raus wenn Du

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{1 - e^{-n}} \end{eqnarray*}$

bestimmst ?

25.05.2011, 19:50

tim-buktu

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sry das ich erst jetzt Antworte (mein akku hat in der Uni schlapp gemacht^^)

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{1 - e^{-n}} = 1 \end{eqnarray*}$

dann muss man es ja nur noch so schreiben

$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist ja das da oben und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ja das normale $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$

dann muss es ja so heis
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left| f_n- f \right| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left| 1 - 0 \right| = 0 \end{eqnarray*}$
aber dann stimmt ja was nicht oder ^^?

Edit: ne alles bestens^^ hab mich verrechnet^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left| 1 - 1 \right| = 0 \end{eqnarray*}$ jetzt stimmt es^^

aber wie mache ich da jetzt weiter? muss ich da jetzt einfach Integral von 1 dx machen

25.05.2011, 20:18

tim-buktu

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_1^\pi \! \frac{cos\frac{x}{n} }{1-e^{-xn}} \, dx = \int_1^\pi \! \lim_{n \to \infty } \frac{cos\frac{x}{n} }{1-e^{-xn}} \, dx = \int_1^\pi \! 1 \, dx = \pi - 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?

26.05.2011, 08:04

Mazze

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Zitat:

Stimmt das ?

Ja, 1 ist die Grenzfunktion. Was Du in deinem Post davor machst verstehe ich nicht wirklich.

26.05.2011, 10:24

tim-buktu

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Oki ich mach mal eine kleine zusamenfassung

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{cos \frac{x}{n} }{1 - \exp(-xn)}\right|\leq sup_{x \in [1,\pi]}\left|\frac{1}{ 1-\exp(-xn)}\right|= \frac{1 }{1-e^{-n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in [1,\pi]}\left| f_n(x) - f(x) \right| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in [1,\pi]}\left| \frac{1}{ 1-\exp(-xn)} - \frac{cos \frac{x}{n} }{1 - \exp(-xn)}\right| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left| \frac{1}{ 1-\exp(-n)} - \frac{cos \frac{1}{n} }{1 - \exp(-n)}\right| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{1 - e^{-n}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{cos \frac{1}{n} }{1 - \exp(-n)} = 1 \end{eqnarray*}$

Hiermit zeige ich ja dann die Gleichmäsige Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\left| 1 - 1 \right| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_1^\pi \! \frac{cos\frac{x}{n} }{1-e^{-xn}} \, dx = \int_1^\pi \! \lim_{n \to \infty } \frac{cos\frac{x}{n} }{1-e^{-xn}} \, dx = \int_1^\pi \! 1 \, dx = \pi - 1 \end{eqnarray*}$

26.05.2011, 11:04

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in [1,\pi]}\left| \frac{1}{ 1-\exp(-xn)} - \frac{cos \frac{x}{n} }{1 - \exp(-xn)}\right| = 0 \end{eqnarray*}$

Die Grenzfunktion ist unabhängig von n. Du solltest also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in [1,\pi]}\left|1 - f_n(x)\right| \end{eqnarray*}$

zeigen, aber ich denke mal, das kriegst Du hin. Die Überlegung

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [1,\pi]}\left|f_n(x)\right| \end{eqnarray*}$

haben wir ja nur gemacht, um einen Kandidaten für die Grenzfunktion zu finden Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2011, 13:54

tim-buktu

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Ok , Dank dir nochmals für deine Hilfe versteh das jetzt so Langsam^^
(muss aber glaube ich noch verdammt viel Üben^^)

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