Normalverteilung/ Transformation

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung/ Transformation
Meine Frage:
Die reelle Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, d.h. .

(1) Es seien mit . Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable . Verwenden Sie dieses Resultat, um auch zu zeigen, dass wenn die Zufallsvariable standardnormalverteilt ist.

[3 Punkte]

(2) Sei . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit . Verwenden Sie dazu das Resultat aus (1) und die beigelegte Tabelle für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

[3 Punkte]

(3) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte der Zufallsvariablen .

[2 Punkte]

Meine Ideen:
Dies ist das erste Mal, dass ich mit der Normalverteilung zu tun habe, daher bin ich etwas unsicher.

Zu (1):





Bis hierhin okay? Wie gehts weiter? verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010
Zu (1):

Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass man jede Normalverteilung mittels einer Transformation auf die Standardnormalverteilung zurückführen kann.

Braucht man das hier irgendwie?
Genau das sollst du ja zeigen smile

Betrachte den Ausdruck

und führe dies auf die Verteilungsunktion der Standardnormalverteilung zurück.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Okay, habe ich im letzten Beitrag eben gerade getan.

Komm aber dort an der letzren Stelle nicht weiter.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010
Okay, habe ich im letzten Beitrag eben gerade getan.

Komm aber dort an der letzren Stelle nicht weiter.
Der erste Teil der Behauptung ist damit schon gezeigt smile

Zu zeigen ist nun:
Zitat:
Verwenden Sie dieses Resultat, um auch zu zeigen, dass wenn die Zufallsvariable standardnormalverteilt ist.


Zir Notation: Die Verteilungsfunktion von bezeichnet man per Konvention meist mit
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Ich weiß zwar nicht wirklich, wo ich jetzt das, was ich eben gezeigt habe, benutze, jedenfalls würde ich das jetzt wieder ähnlich machen:









Bis hierhin komme ich.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010

Zu (1):





Bis hierhin okay? Wie gehts weiter? verwirrt


also mir würde die lösung eher nicht reichen. das sieht auf den ersten blick garnicht nach N(b,a^2) verteilt aus. wenn musst du es nochmal umformen, damit du die gestalt siehe wikepedia bekommst. oder alternativ würde ich vermutlich nicht mittels den verteilungsfunktionen argumentieren sondern das die parameter der normalverteilung dem erwartungswert und der standardnormalverteilung entsprechen, sprich würde einfach:

und

berechnen. bei aufgabe 3 allerdings würde ich auch so vorgehen wie du es getan hast aber auch hier wieder einen schritt weiter umformen siehe gestalt lognormalverteilung.
 
 
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010


Bis hierhin komme ich.


das sieht auch wieder nicht nach der gewünchten gestalt aus. als tipp, substituiere mal



ziel ist ja standardnormalverteilung, siehe wiki...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
So würde ich das nun machen:









Nun substituiere ich. Und zwar folgendermaßen:

,

Für die untere Integrationsgrenze gilt weiterhin ; die obere Integrationsgrenze ist dann und insgesamt erhalte ich:




Es ist also die Verteilungsfunktion von identisch mit der Verteilungsfunktion von , also ist standardnormalverteilt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von dinzeoo
Zitat:
Original von Dennis2010

Zu (1):





Bis hierhin okay? Wie gehts weiter? verwirrt


also mir würde die lösung eher nicht reichen. das sieht auf den ersten blick garnicht nach N(b,a^2) verteilt aus. wenn musst du es nochmal umformen, damit du die gestalt siehe wikepedia bekommst.



Du meinst also, es wäre besser bzw. nachvollziehbarer, wenn man hätte:

.


Meine Frage: Wie komme ich aber von



auf



?


Edit:

Ich mache jetzt trotzdem mal weiter mit (2), auch, wenn bei (1) noch nicht alles geklärt ist.

Zu (2):

Sei , also [oder: ?]

bzw.

Dann ist:




Jetzt muss ich wohl in dieser Tabelle nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung



Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0,34134.

Korrekt?

[Vielleicht hätte ich das Ganze auch mit rechnen müssen.]
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010
Du meinst also, es wäre besser bzw. nachvollziehbarer, wenn man hätte:

.


jepp, das meine ich

Zitat:

Meine Frage: Wie komme ich aber von



auf



?


ansich genau umgekehrt wie du es gerade schon gemacht hast. übrigens kannst aus jedem a^2 ein a machen, sonst ist es falsch.

substituiere

Zitat:


Zu (2):

Sei , also [oder: ?]



sehr wahrscheinlich muss es sein aber da musst du nachschaun wie ihr es definiert habt. die notation ist leider nicht einheitlich, beide varianten und werden je nach buch/skript mal benutzt. wobei ich die zweite variante glaub ich erst einmal gesehen hab.

Zitat:

Dann ist:




Jetzt muss ich wohl in dieser Tabelle nachschauen:




Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0,34134.

Korrekt?


hab jetzt nicht in der tabelle nachgeschaut, aber die vorgehensweise ist richtig, sofern ist.

Zitat:
Original von dinzeoo
oder alternativ würde ich vermutlich nicht mittels den verteilungsfunktionen argumentieren sondern das die parameter der normalverteilung dem erwartungswert und der standardnormalverteilung entsprechen, sprich würde einfach:

und

berechnen.


da hab ich mich verschrieben, meinte statt standardnormalverteilung varianz.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal, um (1) zu Ende zu bringen:

Nach Deinem Tipp substituiere ich jetzt .

Dann gilt , die obere Integrationsgrenze wird zu und insgesamt erhält man



Und das ist gerade die Verteilungsfunktion von .


Dann nochmal was zu (2):
Ich weiß es nicht genau, nehme aber an, dass wir folgende Definition zur Normalverteilung hatten (da sich der Professor sonst auch nach dem Buch richtet, das ich jetzt zitiere):

Zitat:
Georgii, Stochastik, 4. Auflage, de Gruyter, S. 48
Definition: Sei und. Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit der Dichtefunktion



heißt die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung mit Erwartungswert und Varianz . [...]


Daher nehme ich an, dass ich zufälligerweise richtig gerechnet habe mit .



Nun muss ich mich noch an (3) heranwagen.
Auch hier würde ich das wieder so machen, dass ich durch Umformungen irgendwie auf die standardnormalverteilte Zufallsvariable X zurückkomme.

Meine Ideen werde ich noch posten.

Edit:

Zu (3):





für sowie

für .


Stimmt das?!
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Zitat:
Georgii, Stochastik, 4. Auflage, de Gruyter, S. 48
Definition: Sei und. Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit der Dichtefunktion



heißt die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung mit Erwartungswert und Varianz . [...]


Daher nehme ich an, dass ich zufälligerweise richtig gerechnet habe mit .


nach der definition wird ziemlich sicher sein. aber da die definition schon nicht fehlerfrei ist weiss ich es nicht 100%ig. die dichte kann nämlich so nicht passen.
aber lassen wir mal die dichte weg, dann steht dort:
steht für erwartungswert = 1 und varianz=4. transformieren bzw. standardisieren tut man mit der standardabweichung(wurzel der varianz) also =2.

Zitat:

Nun muss ich mich noch an (3) heranwagen.
Auch hier würde ich das wieder so machen, dass ich durch Umformungen irgendwie auf die standardnormalverteilte Zufallsvariable X zurückkomme.

Meine Ideen werde ich noch posten.

Edit:

Zu (3):





für sowie

für .


Stimmt das?!


schau dir unter wikipedia die lognormalverteilung an.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010
Meine Frage:
Die reelle Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, d.h. .

(1) Es seien mit . Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable . Verwenden Sie dieses Resultat, um auch zu zeigen, dass wenn die Zufallsvariable standardnormalverteilt ist.

den teil hatte ich mir garnicht mehr angeschaut aber nach der fragestellung ist schon klar das ihr die normalverteilung mit definiert habt.
also musst du mit rechnen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
(1) und (2) sollten abgearbeitet sein, dankesehr.

Nochmal zu (3):

Das sieht ja schon ähnlich aus wie bei Wikipedia.

Stimmt doch, dass hier und ist, weil X doch die Standardnormalverteilung sein soll...oder?
Nur was ich noch nicht verstehe:

Wie kommen die da auf das x als obere Integrationsgrenze?


[Um die Dichte zu ermitteln, muss ich doch die Verteilungsfunktion nur ableiten - oder?]
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von Dennis2010
(1) und (2) sollten abgearbeitet sein, dankesehr.

Nochmal zu (3):

Das sieht ja schon ähnlich aus wie bei Wikipedia.

Stimmt doch, dass hier und ist, weil X doch die Standardnormalverteilung sein soll...oder?



jo stimmt.

Zitat:

Nur was ich noch nicht verstehe:

Wie kommen die da auf das x als obere Integrationsgrenze?

da musst du wieder das gleiche machen wie bei aufg1 und aufg2. du musst richtig substituieren. welche substitiution würde denn bei dir aus ln(u) ein u machen?

Zitat:

[Um die Dichte zu ermitteln, muss ich doch die Verteilungsfunktion nur ableiten - oder?]


jepp, lass einfach das integral zeichen weg, dann hast die dichte....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Zitat:
Original von dinzeoo

da musst du wieder das gleiche machen wie bei aufg1 und aufg2. du musst richtig substituieren. welche substitiution würde denn bei dir aus ln(u) ein u machen?


Substituieren ist scheinbar nicht meine Stärke und auch in diesem Fall muss ich leider wieder passen. unglücklich
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
versuchs mal mit
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung/ Transformation
Ich möchte mich ganz herzlich bei Dir bedanken, dinzeoo.

Ohne Deine Hilfe hätte ich diese Aufgabe nicht geschafft.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

kein ding... substituieren musst aber nochmal übenAugenzwinkern aber meine stärke war es lange auch nie, von daher kann ich es schon gut nachvollziehen....
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