Problem mit endlichen Gruppen

25.05.2011, 17:18

Takirion

Problem mit endlichen Gruppen

Meine Frage:
Hallo

seien G, H endliche Gruppen und $\begin{eqnarray*} \pi : G-->H \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus. Dazu sei für alle a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G ord(a) die Ordnung von a.

Ich muss jetzt zeigen:
( $\begin{eqnarray*} \forall a\in G \end{eqnarray*}$ : ord( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (a))=ord(a)) genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Meine Ideen:
Ich glaube es wäre am einfachsten zu zeigen, dass die Abbildung ord:G-->{1..|G|} bijektiv ist. Daraus könnte man dann glaube ich einen Beweis stricken, leider habe ich keine Ahnung wie ich die bijektivität von ord zeigen soll.

Danke für alle Hilfen

25.05.2011, 17:27

zweiundvierzig

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RE: Problem mit endlichen Gruppen

Zitat:

Original von Takirion
Ich glaube es wäre am einfachsten zu zeigen, dass die Abbildung ord:G-->{1..|G|} bijektiv ist.

Ich ahne, welche Aussage dahintersteckt. Aber erstens glaube ich sie Dir nicht und zweitens ist sie problematisch aufgeschrieben.

Nimm zunächst an, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Ist $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^k = 1 \end{eqnarray*}$ , wie können wir nun weiter vorgehen?

25.05.2011, 18:30

Takirion

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RE: Problem mit endlichen Gruppen

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ich ahne, welche Aussage dahintersteckt.

Welche Aussage steckt denn dahinter?

Ist pi injektiv, so folgt aus pi(a)^k=1:
1=pi(a)^k=pi(a^k)=pi(1) und damit a^k=1 und damit ord(a)|ord(pi(a)) was zusammen mit der tatsache dass ord(pi(a))|ord(a) (das hab ich schon bewiesen) und ord(a)>0 zu ord(a)=ord(pi(a)) führt.

danke bis hier hin ...

Ist nun ord(a)=ord(pi(a)) für alle a in G, so folgt aus
pi(a)=pi(b)... hm gute Frage... was folgt denn?

25.05.2011, 18:38

zweiundvierzig

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RE: Problem mit endlichen Gruppen

Zitat:

Original von Takirion
Welche Aussage steckt denn dahinter?

Dass es zu jeder natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \{1,2,\ldots, |G| \} \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{ord}(g) = n \end{eqnarray*}$ gibt. Das ist aber falsch, betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Takirion
Ist pi injektiv, so folgt aus pi(a)^k=1:
1=pi(a)^k=pi(a^k)=pi(1) und damit a^k=1 und damit ord(a)|ord(pi(a)) was zusammen mit der tatsache dass ord(pi(a))|ord(a) (das hab ich schon bewiesen) und ord(a)>0 zu ord(a)=ord(pi(a)) führt.

Der Beweis stimmt, allerdings solltest Du schon sagen, dass Du $\begin{eqnarray*} k := \mathrm{ord}\pi(a) \end{eqnarray*}$ definierst.

Zitat:

Original von Takirion
Ist nun ord(a)=ord(pi(a)) für alle a in G, so folgt aus
pi(a)=pi(b)... hm gute Frage... was folgt denn?

Sei $\begin{eqnarray*} g \in \ker \pi \end{eqnarray*}$ . Welche Ordnung muss $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ haben?

25.05.2011, 18:50

Takirion

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RE: Problem mit endlichen Gruppen

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Sei $\begin{eqnarray*} g \in \ker \pi \end{eqnarray*}$ . Welche Ordnung muss $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ haben?

AAAAHHHH *headtothewall*

sei $\begin{eqnarray*} g \in ker \pi \end{eqnarray*}$ , dann ist pi(g)=1 also ord(pi(g))=1 und damit ord(g)=1 dann ist aber g=1 damit ker(pi)={1} und damit pi injektiv

vielen dank
Gott

zweiundvierzig
ok das hier kann man zu machen

25.05.2011, 18:53

zweiundvierzig

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RE: Problem mit endlichen Gruppen

Zitat:

Original von Takirion
sei $\begin{eqnarray*} g \in ker \pi \end{eqnarray*}$ , dann ist pi(g)=1 also ord(pi(g))=1 und damit ord(g)=1 dann ist aber g=1 damit ker(pi)={1} und damit pi injektiv

Habe gerne weitergeholfen. smile

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