Differentialgleichung

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24.06.2004, 18:29	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Ich suche eine Lösung für die Gleichung 2*arctan(y')=pi/2+arctan(y/x)
24.06.2004, 19:39	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, falls Du mit "gleichgradigen DGLs" vertraut bist, sollte das weiterhelfen. Ich habe damit, glaube ich zumindest, eine Lösung ermitteln können.
24.06.2004, 19:49	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeig mal her deine Lösung. Mit Maple hab ich noch keine gefunden.
24.06.2004, 19:51	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit differenzialgleichungen kenn ich mich noch überhaupt nicht aus. Kannst du nicht einfach die Lösung posten?
24.06.2004, 19:51	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guevara: Woher hast du denn dann dieses Gebilde?
24.06.2004, 19:55	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube dass jeder Strahl der von (0/0) kommt senkrecht nach oben reflektiert wird wenn er auf die Kurve trifft. Die kurve muss also direkt neben x=0 die Steigung 1 haben.
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24.06.2004, 20:04	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wenn es eine Lösung für das Spiegelungsproblem gibt, dann erfüllt sie diese Differentialgleichung. Aus der Spiegelungsbedingung komm ich erstmal auf diese Form, die aber zu deiner äquivalent ist: $\begin{align} y' = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \arctan(\frac{y}{x})) \end{align}$
24.06.2004, 20:07	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Heh, muPad hat auch gnadenlos versagt und minutenlang CPU-Zeit verbrannt, ohne irgendwas zu schaffen. Also, dann mal los: Aus der vorliegenden DGL lässt sich eine gleichgradige DGL der Form $\begin{eqnarray} y'(x) = f \left( \frac{y}{x} \right) \end{eqnarray}$ basteln. Dazu einfach durch 2 dividieren und tan() auf beide Seiten anwenden, das führt zu $\begin{eqnarray} y'(x) = \tan \left( \pi + \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \right) \end{eqnarray}$ Nun haben wir die richtige Form für die gleichgradige DGL und substituieren [latex=inline]u = \frac{y}{x}, \, y = u \cdot x, \, y' = \frac{dy}{du}= u + x \cdot u'[/latex]. Ok, weiter geht's, wir haben nun: $\begin{eqnarray} u + u' \cdot x = \tan \left( \pi + \frac{1}{2} \arctan u \right) \end{eqnarray}$ Der ganze Sinn der Substitution liegt darin, dass man die Variablen trennen kann: $\begin{eqnarray} u' \cdot x = \frac{du}{dx} x =& \tan \left( \pi + \frac{1}{2} \arctan u \right) - u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\tan \left( \pi + \frac{1}{2} \arctan u \right) - u} du = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray}$ Ok, die tangens-Funktion ist ja pi periodisch, also ist [latex=inline]\tan \left( \pi + \frac{1}{2} \arctan u \right) = \tan ( \frac{1}{2} \arctan u ) = \ldots[/latex] Verdammig, jetzt fällt mir auf, dass ich in meiner Rechnung auf dem Blatt das 1/2 vor dem arctan vergessen habe, was meinen ganzen fragilen Plan zusammenbrechen lässt. Ist das denn soweit richtig? Wie kann man weiter vereinfachen?
24.06.2004, 21:35	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \arctan u \right) - u} du = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray}$ Mit dem korrigierten Schreibfehler ist dieses Zwischenergebnis richtig. Maple kann die Stammfunktion der linken Seite nicht explizit angeben, liefert das Integral unausgewertet zurück.
24.06.2004, 21:43	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstaunlicherweise liefert Mathematica für dieses Integral einfach arsinh(u) Demnach wäre 1/(tan(Pi/4+1/2*arctan(u))-u) also nichts anderes als 1/sqrt(1+u^2) Habe ich mich etwa vertippt?
24.06.2004, 22:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich nicht vertippt. Von dem $\begin{align} \frac{\pi}{4} \end{align}$ kann man sich mit dem Additionstheorem des Tangens leicht lösen. Und dann verwende man die Formel $\begin{align} \tan \ \frac{t}{2} \ = \ \frac{\sqrt{1+\tan^2 t} \ - \ 1}{\tan \ t} \ , \ \ -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \end{align}$ die für t=0 rechts mit dem Wert 0 stetig zu ergänzen ist.
01.10.2005, 20:27	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was kommt dann heraus?

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