Integration mit Beträgen als Grenzen

25.05.2011, 17:45	Azurech	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mit Beträgen als Grenzen Hallo. Ich hab als Aufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \! ( \int_0^{\|y\|} \! exp(2x +y) + x \, dx)\, dy \end{eqnarray}$ Dazu hab ich eine Frage. Nachdem ich nach x integriere und die Grenzen 0 und \|y\| einsetze, stehen da halt noch y und \|y\|. Wie integriere ich nun nach y? Betrachte ich y = \|y\| oder ist \|y\| eine "andere Variable" und wird nicht mit integriert? Würde sich auch in dem nächsten Term bemerkbar machen, der dann entweder nach x integriert und eingesetzt: exp(2\|y\| + y)\|y\| + \|y\|²/2 oder exp(3y)y + y²/2 lautet Ihr seht was ich meine hoffentlich. Auch was danach? Wenn ich annehme, dass y = \|y\| könnte ich ja schön integrieren und die Grenzen einsetzen, aber ich muss ja auch -1 einsetzen und \|y\| würde ja nicht <0 werden. Wenn ich annehme, dass y =/ \|y\| hätte ich am Ende eine Variable über und das wär ja kein Ergebnis wirklich. PS: ich bin erst mal weg bis heute spät abend, deswegen keine schnelle Rückantwort erwarten.
25.05.2011, 18:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne das innere Integral noch einmal nach. Zunächst gibt es zwischen $\begin{eqnarray} \|y\|^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ keinen Unterschied. Das ist also problemlos. Aber ansonsten gilt natürlich: $\begin{eqnarray} \|y\| \end{eqnarray}$ ist keine "andere Variable", sondern ein von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängiger Term: $\begin{eqnarray} \|y\| = \begin{cases} y & \text{falls} \ y \geq 0 \\ -y & \text{falls} \ y<0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Unterteile daher das Integral: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \ldots = \int_{-1}^0 \ldots \ + \ \int_0^1 \ldots \end{eqnarray}$ In jedem der beiden Integrale kannst du dich vom Betrag befreien.
25.05.2011, 22:54	Azurech	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich nur so halb. Wenn ich nach y integriere, integriere ich dann auch das \|y\| oder lass ich das und behandel es wie eine andere Variable. oder zieh ich \|y\| und y zusammen. Als Beispiel die e-Funktion: Soll es so sein: exp(2\|y\| + y) oder: exp(3y) ?
26.05.2011, 09:08	roppat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sitz auch vor dem Problem, weiß hier wer weiter?
26.05.2011, 09:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das innere Integral ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( y^2 + \operatorname{e}^{2 \left\| y \right\| + y} - \operatorname{e}^y \right) \end{eqnarray}$ als Wert. Und wie es dann weitergeht, dazu steht alles hier. Und was das Gerede mit der "Variablen" $\begin{eqnarray} \|y\| \end{eqnarray}$ soll, verstehe ich gar nicht. Es käme ja auch niemand auf die Idee, von der "Variablen" $\begin{eqnarray} \sqrt{t} \end{eqnarray}$ zu sprechen.
27.05.2011, 22:05	Azurech	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, habs denk ich mal hinbekommen nun, wenn ichs verstanden hab. Danke
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