Unendlichkeit höherer Ordnung als R - Seite 2

27.05.2011, 18:08

Pascal95

Oh, das wird noch ein bisschen dauern, bis ich den Ablauf komplett verstehe.

Aber ich denke, es ist mir schon ziemlich klar geworden...

Dazu muss $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ natürlich unstetig sein, ansonsten wäre es ja nicht Bild von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , aber das hast du ja auch gesagt.

Dann fragt sich natürlich, wie mächtig $\begin{eqnarray*} \{f:~\mathbb R \to \mathbb R,\ f ~\text{unstetig}\} \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

27.05.2011, 18:11

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Dann fragt sich natürlich, wie mächtig $\begin{eqnarray*} \{f:~\mathbb R \to \mathbb R,\ f ~\text{unstetig}\} \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Tja, jedenfalls mächtiger als das Kontinuum. Das ist doch schon mal eine Erkenntnis.

smile

27.05.2011, 18:14

Pascal95

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Ja, das kann man auf jeden Fall sagen!

Und eine Erkenntnis ist es für mich auch, denn ich bin immer nur von $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak c \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

Am Anfang hast du ja gesagt, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ surjektiv sein soll und so kann man dann den Widerspruch erzeugen. Aber man hat ja eigentlich Surjektivität nie benutzt. Es könnte ja auch eine injektive (und nicht surjektive) oder sogar bijektive Funktion sein. Das verstehe ich noch nicht. Man kommt doch immer auf diesen Widerspruch...

27.05.2011, 21:00

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Am Anfang hast du ja gesagt, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ surjektiv sein soll und so kann man dann den Widerspruch erzeugen. Aber man hat ja eigentlich Surjektivität nie benutzt.

Also wir haben die Funktion g definiert. Wie findest du nun ein x mit T(x) = g ?

27.05.2011, 21:07

Pascal95

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Eigentlich findet man so einen x-Wert nicht, aber er müsste erfüllen, dass dann $\begin{eqnarray*} T(x)=f_x=g \end{eqnarray*}$ und man gelangt zum Widerspruch.

Also ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ undefiniert (?)

27.05.2011, 22:16

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Eigentlich findet man so einen x-Wert nicht, aber er müsste erfüllen, dass dann $\begin{eqnarray*} T(x)=f_x=g \end{eqnarray*}$ und man gelangt zum Widerspruch.

Die Frage ist, wieso gibt es so einen Wert x ? Die Annahme über T ist die Surjektivität u.a., was bedeutet die genau? (du wolltest ja wissen, wofür die Surjektivität wichtig ist)

27.05.2011, 22:27

Pascal95

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Naja, also ich weiß, dass man gesagt hat, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ surjektiv sein, soll, weil dann die Gleichheit der Mächtigkeiten von den stetigen und unstetigen Funktionen daraus resultieren würde.

Man hat gezeigt, dass es so eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht geben kann, weil es für den Wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch aufwirft.

Aber ich weiß nicht, wo man dann wieder auf die Surjektivität zurückgegriffen hat. Man hätte doch auch sagen können, die Abbildung sei injektiv und der Widerspruch würde sich auch ergeben.

Ich hoffe, dass klar wird, was ich versuche, zu erläutern...

27.05.2011, 22:33

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber ich weiß nicht, wo man dann wieder auf die Surjektivität zurückgegriffen hat.

Das versuchen wir ja gerade zu klären. Zunächst: was genau bedeutet surjektiv?

27.05.2011, 22:42

Pascal95

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Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \ A \to B \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, wenn man zu jedem $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ findet, sodass $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ , also dass jeder Wert im Zielbereich mindestens ein Urbild hat.

Man kann auch jede Abbildung surjektiv "machen", wenn man den Zielbereich soweit verkleinert, dass er identisch mit dem Bildbereich ist, wo wirklich alle Funktionswerte sind.
Denn der Zielbereich ist ja wie ein Vorrat, es müssen nicht alle Werte als Funktionswert angenommen werden.

27.05.2011, 22:57

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \ A \to B \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, wenn man zu jedem $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ findet, sodass $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ , also dass jeder Wert im Zielbereich mindestens ein Urbild hat.

Ja, ok. Hier hast du jetzt zum Zielbereich-Element g ein x, so dass T(x) = g ist. Dieses x existiert aufgrund der Surjektivität von T.

27.05.2011, 23:06

Pascal95

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Ok,

wir betrachten die surjektive Funktion $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

Alle Elemente des Zielbereiches sind unstetige Funktionen.

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ unstetig ist, gehört es zum Zielbereich von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und auch zum Bildbereich, weil bei einer surjektiven Funktion der Zielbereich mit dem Bildbereich identisch ist.

Das kann man einfach zeigen:
Man betrachtet ein Element aus dem Zielbereich, das nicht im Bildbereich ist. So existiert kein Element aus dem Definitionsbereich, dass als Funktionswert das andere Element annimt. Also ist die Funktion nicht surjektiv.

Richtig so?

27.05.2011, 23:11

Abakus

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Ja, soweit ok, denke ich. Du siehst also, wir brauchen die Surjektivität.

27.05.2011, 23:16

Pascal95

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Jo, jetzt ist es klar.

Das hat mir eigentlich nur gefehlt.

Ich denke jetzt ist alles klar,...

... bis auf die Frage, wie mächtig denn die Menge der unstetigen Funktionen ist.

Auf jeden Fall mächtiger als die des Kontinuums.
Ist es vielleicht die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ des Kontinuums ?

Kann man die Frage überhaupt beantworten, oder ist das ein unentscheidbares Problem Big Laugh

27.05.2011, 23:47

Abakus

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich denke jetzt ist alles klar,...

... bis auf die Frage, wie mächtig denn die Menge der unstetigen Funktionen ist.

Auf jeden Fall mächtiger als die des Kontinuums.
Ist es vielleicht die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ des Kontinuums ?

Wenn du die allgemeine Kontinuumshypothese (GCH --> Wiki nachgucken) annimmst, sollte die Antwort ein "ja" sein: denn mehr kann es nicht sein, und dazwischen gäbe es keine weiteren Kardinalzahlen.

Wenn du sie nicht annimmst, könnte es dazwischen weitere Kardinalzahlen geben, d.h. die Antwort ließe sich dann nicht so ohne weiteres geben.

In jedem Fall müsste man wohl erstmal einiges mehr über Kardinalzahlen wissen, um da weiterzumachen, denke ich.

27.05.2011, 23:52

Pascal95

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Ok,

Zitat:

Zitat, Wikipedia - Kontinuumshypothese, Verallgemeinerung
Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt, dass für jede unendliche Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zwischen den Kardinalzahlen $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^{|X|} \end{eqnarray*}$ (der Mächtigkeit der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) keine weiteren Kardinalzahlen liegen

damit wäre auch das geklärt.

Vielen Dank für deine großartige Hilfe!

Wenn mir noch Fragen einfallen werden, so werde ich die stellen.

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