Unendlichkeit höherer Ordnung als R

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Hallo,

ich lese momentan das Buch "Die Natur der Unendlichkeit", Amir D. Aczel.

Dort heißt es auf Seite 141:
Zitat:
Bis jetzt haben wir erst zwei Arten des Unendlichen kennen gelernt: das der ganzen, der rationalen und der algebraischen Zahlen auf der einen Seite und das größere Unendliche der transzendenten Zahlen auf der anderen. Cantor kannte noch eine weitere Ordnung des Unendlichen, größer als die beiden ersten. Das war das Unendliche aller Funktionen, der stetigen wie unstetigen, die auf der Zahlengeraden definiert sind.

Dann heißt es hinten im Buch auf Seite 236 dazu:
Zitat:
Die unstetigen Funktionen sind diejenigen, die dieser Menge ihre höhere Ordnung des Unendlichen verleihen.


Wie soll ich das verstehen?

Mir ist klar, dass es nicht nur die Unendlichkeit der Natürlichen Zahlen und die der Reellen Zahlen gibt, sondern die Potenzmenge die Mächtigkeit nach der Kontinuumhypothese um eins erhöht. So wäre .

Doch wie kann man diese "höhere Unendlichkeit" verstehen?

Vielen Dank für Antworten smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Die unstetigen Funktionen sind diejenigen, die dieser Menge ihre höhere Ordnung des Unendlichen verleihen.


Wie soll ich das verstehen?


Hallo,

das ist schon etwas schwafelig ausgedrückt. Es ist so: eine stetige Funktion ist durch ihre Werte auf den rationalen Zahlen schon festgelegt (alles andere lässt sich auf genau eine Art stetig ergänzen dann).

Also gibt es bestenfalls viele stetige Funktionen, und das entspricht (nur) der Mächtigkeit des Kontinuums.

Die Menge der unstetigen Funktionen hat dagegen eine höhere Mächtigkeit.

Grüße Abakus smile
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Hallo.

Zitat:
Original von Abakus
Es ist so: eine stetige Funktion ist durch ihre Werte auf den rationalen Zahlen schon festgelegt (alles andere lässt sich auf genau eine Art stetig ergänzen dann).

Liegt das daran, dass die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl liegen, weil man zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen beliebig viele (abzählbar viele) rationale Zahlen erhält. Zum Beispiel ist das , lässt sich auch als Bruch darstellen (Abgeschlossenheit der Multiplikation).

Diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl , die sich nicht rationale sind, also eben die irrationalen lassen sich beliebig genau einschachteln (Intervallschachtelung...).

Liege ich mit meinen Vermutungen richtig und war es auch so von dir gemeint?

Zitat:
Also gibt es bestenfalls viele stetige Funktionen

Kommst du darauf, weil alle "x-Werte" auf dem Zahlenstrahl liegen und damit zu den reellen Zahlen gehören (deswegen ). Aber warum potenzierst du dann ?
Weil sie nur darauf definiert sind (??)

Vielen Dank für deine Hilfe smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von Abakus
Es ist so: eine stetige Funktion ist durch ihre Werte auf den rationalen Zahlen schon festgelegt (alles andere lässt sich auf genau eine Art stetig ergänzen dann).

Liegt das daran, dass die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl liegen, weil man zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen beliebig viele (abzählbar viele) rationale Zahlen erhält. Zum Beispiel ist das , lässt sich auch als Bruch darstellen (Abgeschlossenheit der Multiplikation).

Diejenigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl , die sich nicht rationale sind, also eben die irrationalen lassen sich beliebig genau einschachteln (Intervallschachtelung...).

Liege ich mit meinen Vermutungen richtig und war es auch so von dir gemeint?


Ja, daran und an den Eigenschaften der Stetigkeit liegt es.

Zitat:

Zitat:
Also gibt es bestenfalls viele stetige Funktionen

Kommst du darauf, weil alle "x-Werte" auf dem Zahlenstrahl liegen und damit zu den reellen Zahlen gehören (deswegen ). Aber warum potenzierst du dann ?
Weil sie nur darauf definiert sind (??)


Die Potenz ist hier nur eine Schreibweise für die Menge der Funktionen von den rationalen Zahlen in die reellen Zahlen. Gedanklich ist das ja vorstellbar als ein abzählbares kartesisches Produkt der reellen Zahlen.

Nochmal der Gedankengang: wenn eine stetige Funktion durch die Werte auf den rationalen Zahlen bereits festgelegt ist, brauchen wir nur diese Funktionen betrachten: denn weitere kommen ja nicht dazu, wenn wir den Definitionsbereich auf die reellen Zahlen erweitern.

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Hallo,

Zitat:
Original von Abakus
Die Potenz ist hier nur eine Schreibweise für die Menge der Funktionen von den rationalen Zahlen in die reellen Zahlen. Gedanklich ist das ja vorstellbar als ein abzählbares kartesisches Produkt der reellen Zahlen.

Also die reellen Zahlen sind ja nicht abzählbar, dann aber das kartesische Produkt der Tupel, wobei die Komponenten im Tupel (reelle Zahlen) nicht abzählbar sind.
Leider kann ich mir das mit dem kartesischen Produkt noch nicht ganz vorstellen...


Zitat:

Nochmal der Gedankengang: wenn eine stetige Funktion durch die Werte auf den rationalen Zahlen bereits festgelegt ist, brauchen wir nur diese Funktionen betrachten: denn weitere kommen ja nicht dazu, wenn wir den Definitionsbereich auf die reellen Zahlen erweitern.

Es gibt also genauso viele stetige Funktionen, die den Definitionsbereich der Rationalen Zahlen haben, wie solche, die den Definitionsbereich der Reellen Zahlen haben (?)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendlichkeit höherer Ordnung als R
Zitat:
Original von Pascal95
Leider kann ich mir das mit dem kartesischen Produkt noch nicht ganz vorstellen...


Siehe erstmal hier: kartesisches Produkt (Wiki), insbesondere den Abschnitt über unendliche Produkte.

Zitat:
Es gibt also genauso viele stetige Funktionen, die den Definitionsbereich der Rationalen Zahlen haben, wie solche, die den Definitionsbereich der Reellen Zahlen haben (?)


Wenn du eine stetige Funktion hast, , aber nur die Funktionswerte auf den rationalen Zahlen kennst, reicht das völlig aus: das f ist eindeutig bestimmt.

Du kannst ja mal überlegen, wieso das so sein muss.

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird mir ein bisschen klarer.

Besonders wichtig erscheint mir diese Passage:
Zitat:
Sind alle gleich einer Menge , dann ist das kartesische Produkt die Menge aller Funktionen von nach .


Das passt in dem Beispiel .
Es sind also alle Funktionen von nach .


Zitat:
Wenn du eine stetige Funktion hast, , aber nur die Funktionswerte auf den rationalen Zahlen kennst, reicht das völlig aus: das f ist eindeutig bestimmt.
Du kannst ja mal überlegen, wieso das so sein muss.

Kann man das wieder darauf zurückführen, dass die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl liegen?

Vielen Dank bis jetzt...

Edit: Ich beziehe mich natürlich auf diesen Abschnitt.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Kann man das wieder darauf zurückführen, dass die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl liegen?


Das ist sicher dafür notwendig, ja. Ansonsten brauchst du vielleicht noch die Folgenstetigkeit (Wiki). Diese Eigenschaft folgt aus der normalen Stetigkeit.

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Wikilink hat mich zur Seite "Stetigkeit" (allgemein) von Wikipedia umgeleitet.

Zur Folgenstetigkeit fand ich dort leider nichts brauchbares.

Diese kurze Erklärung hat mir dann doch geholfen.
Stimmt es, dass die Definition auf das Umgangssprachliche "kleine Veränderungen im Definitionsbereich -> kleine Änderungen im Zielbereich" zurückgeht.
Wenn man also einer Stelle (D: Definitionsbereich) beliebig nahe kommt, wird sich der jeweilige Funktionswert für ein wohl beliebig nähern.

Hoffentlich war das (einigermaßen) richtig Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meinem Link findest du immerhin die (recht kurze) Definition (weiter unten).

Und ja, deine Vorstellung ist richtig.

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das freut mich.

Bei meinem Browser wird der Link als "de.wikipedia.org/wiki/ %20Folgenstetigkeit#Weitere_Verallgemeinerung:_Stetige_Funktionen_zwischen_
to%3Cbr%20/%3Epologischen_R.C3.A4umen" ausgewertet.

Jetzt hab ichs hingekriegt, das zu finden, was du wohl meintest (das hier).

Da bin ich wohl vorher drüber geflogen, weil ich von Topologie sehr wenig Ahnung habe, allerdings habe ich jetzt bemerkt, dass es ja ganz einfach ist (die Erklärung, ich meine nicht Topologie).

Und wie geht es jetzt weiter?

Warum wird denn das kartesische Produkt bei unendlichen Mengen als Funktion beschrieben, die für jedes Element der Indexmenge ein Element der Vereinigung von den Elementen der Mengenfamilie die ja selber Mengen sind?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Und wie geht es jetzt weiter?

Warum wird denn das kartesische Produkt bei unendlichen Mengen als Funktion beschrieben, die für jedes Element der Indexmenge ein Element der Vereinigung von den Elementen der Mengenfamilie die ja selber Mengen sind?


Das ist einfach eine Definition (die viele aber nicht so ohne weiteres verstehen).

Wie es weitergeht, kannst du dir überlegen. Was nützt dir jetzt die Folgenstetigkeit, um die Funktion f auf ganz festzulegen, wenn du sie auf kennst?

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so wirklich weiß ich es nicht.

Aber wenn ich einem beliebigen definierten Punkt aus Q beliebig nahe komme, so komme ich auch dem Funktionswert beliebig nahe und dadurch werden alle "Lücken" gedeckt (?).
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Mal konkret: du hast ein festes . Was ist jetzt f(z) ?

Da dicht ist, findest du sicher eine Cauchy-Folge in , die in sogar gegen das z konvergiert. Vorstellbar etwa als die Intervallgrenzen bei einer Intervallschachtelung oder was auch immer.

OK, und jetzt kommt die Folgenstetigkeit von f ins Spiel. Siehst du wie?

Grüße Abakus smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Mal konkret: du hast ein festes . Was ist jetzt f(z) ?

Ich meine, solche Werte sind noch nicht definiert verwirrt
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von Abakus
Mal konkret: du hast ein festes . Was ist jetzt f(z) ?

Ich meine, solche Werte sind noch nicht definiert verwirrt


Ja, aber wie würdest du das f(z) jetzt definieren?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Als Grenzwert solch einer Folge ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Als Grenzwert solch einer Folge ?


Ja, schreib das mal genau hin, f(z) := ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

mit .
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei es hier um eine Folge geht, also:

mit .
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man die Folge explizit angeben. Naja, man hat die Funktion ja auch garnicht angegeben und wir reden über sie Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest begründen können, wieso eine solche Folge existiert und wie du ggf. eine solche Folge finden kannst. Auch ist die Frage, was passiert, wenn jetzt eine andere Folge genommen wird: ändert sich dann was bzw. wieso nicht?

Für das prinzipielle Verständnis sollte das reichen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Du solltest begründen können, wieso eine solche Folge existiert

Wie sollte ich das anstellen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Wie sollte ich das anstellen?


Du hast ja schon erzählt, dass die rationalen Zahlen dicht liegen und weißt, was eine Intervallschachtelung ist?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ok.
Was eine Intervallschachtelung ist, weiß ich Augenzwinkern

Damit zeigt man wohl, dass man sich den reellen Werten (die nicht rational sind, also irrational) beliebig durch rationale Zahlen nähern kann.

Wie geht es jetzt weiter?

Kommen wir noch zu den unstetigen Funktionen ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Kommen wir noch zu den unstetigen Funktionen ?


Was fehlt dir noch?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hat die Menge der unstetigen Funktionen eine höhere Mächtigkeit?

Wir haben doch gerade über stetige gesprochen,oder?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

OK, kennst du das Cantor'sche Diagonalargument, wieso die reellen Zahlen nicht abzählbar sind? Diese Argumentation müsstest du übertragen auf die neue Situation.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kenne ich und habe auch noch den Ablauf im Kopf.
Man zeigt eben, dass man keine Liste von allen reellen Zahlen im Intervall [0,1[ erstellen kann, weil es immer eine Diagonalzahl gibt, die noch nicht in der Liste ist.

Wie man das übertragen kann, müsste ich noch überlegen.

Momentan sehe ich da leider keine Verbindung.
Warum soll schon die Mächtigkeit der Menge der unstetigen Funktionen größer sein?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sie mindestens so groß ist, ist dir klar?

Nun, nimm an die (unstetigen) reellen Funktionen wären mit den reellen Zahlen durchindiziert, d.h. gegeben sei eine surjektive Abbildung



Das T ist also eine Abbildung auf eine Menge von Funktionen hier.

Wenn die reellen Zahlen gleichmächtig wären, müsste es eine solche Indizierung ja geben.
(siehe dazu den Satz von Cantor-Schröder-Bernstein auch bitte (Wiki))

Jetzt definieren wir eine Abbildung g wie folgt:



Ggf. müsste noch dafür gesorgt werden, dass das g wirklich unstetig ist (das ist es so ja noch nicht notwendigerweise; also ist hier ggf. noch eine Unstetigkeitsstelle einzubauen...)

Jetzt das Diagonalargument.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das ein Widerspruchsbeweis werden (wie auch "Cantors zweites Diagonalargument")?

Es ist also eine (surjektive) Abbildung von den Reellen Zahlen zu der Menge der Funktionen, die die Reellen Zahlen als Definitions- und Zielbereich haben und unstetig sind.

Dann wird die x-te unstetige Funktion genannt (Indizierung).

Doch hier ist gar nicht angegeben, wie den reellen Zahlen die unstetigen Funktionen zugeordnet werden. Das ist wohl eher konstruktiv (?)

Aber wenn eine Funktion surjektiv ist, dann bedeutet das doch, dass ist.

Warum soll dann surjektiv sein?
Dann könnte ja auch nur höchstens so mächtig wie sein (?)

Was habe ich hier falsch verstanden?

(Das habe ich übrigens auch angesehen.)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Soll das ein Widerspruchsbeweis werden (wie auch "Cantors zweites Diagonalargument")?


Ja.

Zitat:
Es ist also eine (surjektive) Abbildung von den Reellen Zahlen zu der Menge der Funktionen, die die Reellen Zahlen als Definitions- und Zielbereich haben und unstetig sind.

Dann wird die x-te unstetige Funktion genannt (Indizierung).

Doch hier ist gar nicht angegeben, wie den reellen Zahlen die unstetigen Funktionen zugeordnet werden. Das ist wohl eher konstruktiv (?)


Hier geht es ja nur um Mächtigkeitsüberlegungen. Wie das T genau aussehen könnte, ist da völlig irrelevant. Wir wollen ja auch die Existenz dieses T widerlegen, also zeigen, dass es sowas nicht geben kann. Unsere Annahme ist demnach, dass irgend so ein T existiert.

Zitat:

Aber wenn eine Funktion surjektiv ist, dann bedeutet das doch, dass ist.

Warum soll dann surjektiv sein?
Dann könnte ja auch nur höchstens so mächtig wie sein (?)

Was habe ich hier falsch verstanden?


Nichts. Wir wissen ja schon, dass in diesem Fall gilt (A und B sind Definitions- und Zielbereich von T dann). Die Frage ist nun, gilt die Gleichheit oder gilt ein "echt kleiner".

Um das rauszufinden, nehmen wir an, es gilt ein "größer gleich" (was gleichbedeutend mit einem "=" ist, denn "echt größer" kann das A ja schon nicht sein). Wenn wir dies zum Widerspruch führen können, wissen wir, dass das "echt kleiner" gilt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr smile

Die Menge der unstetigen Funktionen ist ja mindestens genauso mächtig, wie die Menge der stetigen Funktionen. Wobei die Menge der stetigen Funktionen eben die selbe Mächtigkeit wie das Kontinuum hat.

Man will jetzt also zeigen, dass es solch ein nicht geben kann.
Denn wenn es existiert, so würden die Mengen der (un)stetigen Funktionen die selbe Mächtigkeit haben (Ordnungsrelation, Antisymmetrieüberlegungen, und vor allem der Satz von Cantor-Schröder-Bernstein).

Soweit auch noch richtig verstanden ?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Man will jetzt also zeigen, dass es solch ein nicht geben kann.
Denn wenn es existiert, so würden die Mengen der (un)stetigen Funktionen die selbe Mächtigkeit haben (Ordnungsrelation, Antisymmetrieüberlegungen, und vor allem der Satz von Cantor-Schröder-Bernstein).

Soweit auch noch richtig verstanden ?


Ja. Wir vergleichen mit T die Mächtigkeit der reellen Zahlen mit der Mächtigkeit der Menge der unstetigen Funktionen auf bzw. genauer: wenn es so ein T gibt, hat die Menge der unstetigen Funktionen höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings verstehe ich den Sinn der Einführung der Funktion nicht ganz.

Es geht ja um eine Fallunterschiedung von .
Wenn man z.B. einsetzt, wird geprüft, ob ist.

Dabei bezeichnet eben die unstetige Funktion mit dem Index . Man hat sie ja indiziert mit den reellen Zahlen. Deswegen auch . Der Definitionsbereich der Funktion ist also die Menge der Reellen Zahlen.

verwirrt

Dann könnte es immer mal wieder "Sprünge" geben, wenn ist, wenn also .
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Allerdings verstehe ich den Sinn der Einführung der Funktion nicht ganz.


Daran solltest du ein bisschen arbeiten (du kennst ja das Diagonalargument...). Die Frage ist hier, ob es ein x gibt mit T(x) = g oder nicht.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn es ein gibt, sodass ist, dann tue ich mich ein bisschen schwer zu sagen, was an der Stelle für ein Funktionswert angenommen wird.

Das ist schon ein bisschen verwirrend, denn benutzt die Fallunterschiedung von und in diesem Fall wäre .

Das ist ja irgendwie ein Zirkelschluss?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
... in diesem Fall wäre .

Das ist ja irgendwie ein Zirkelschluss?


Soweit so gut. Du brauchst einen Widerspruch hier. Die Frage ist, was passiert an der Stelle x: mache am besten eine Fallunterscheidung:

Fall 1:

Fall 2:
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Fall 1:
Also

Fall 2:
Also


Widerspruch!


und
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. In beiden Fällen ist demnach die Annahme, dass es so ein T gibt, falsch. Damit hast du es smile .
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