Verständnisproblem - Vektorräume - Isomorphiesatz - Kern

26.05.2011, 00:29

Cosinuspihalbe

Verständnisproblem - Vektorräume - Isomorphiesatz - Kern

unter dem link ist ein kurzer satz zum isomorphiesatz von vektorräumen.

http://www.pic-upload.de/view-10093744/iso-kern.jpg.html

ich hab verständnisprobleme mit "so ist der kern $\begin{eqnarray*} \frac{U_2}{U_1} \end{eqnarray*}$ ".
damit kann ich mir nicht konkret vorstellen, wie genau der kern aussieht. ich hab versucht es mir mit folgendem beispiel vorzustellen:

$\begin{eqnarray*} U_1 = \mathbb{R} , U_2 = \mathbb{R}^2 , U_3 = \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

jedoch scheiter ich daran. generell kann ich nicht abschätzen, was genau von $\begin{eqnarray*} \frac{U_3}{U_1} \end{eqnarray*}$ auf das neutrale element von $\begin{eqnarray*} \frac{U_3}{U_2} \end{eqnarray*}$ abbildet.
$\begin{eqnarray*} \frac{U_2}{U_1} \end{eqnarray*}$ soll ja der kern sein, nur raff ich nicht warum.

wenn mir das jemand in ein konkretes beispiel verpacken oder abstrakt erklären kann, so wäre ich echt dankbar. smile

26.05.2011, 00:42

tigerbine

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nächtlicher Tipp
Keinen Bruchstrich machen: http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum

26.05.2011, 00:53

juffo-wup

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Das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} U_3/U_2 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} U_2. \end{eqnarray*}$

Mache dir klar, dass für $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v+U_2=U_2. \end{eqnarray*}$ (Zeige beide Teilmengenrichtungen)

Damit zeige: Wenn $\begin{eqnarray*} v\in U_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann wird $\begin{eqnarray*} v+U_1 \end{eqnarray*}$ von der gegebenen Abbildung auf $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ geschickt. Und umgekehrt: Wenn $\begin{eqnarray*} v+U_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, dann $\begin{eqnarray*} v\in U_2. \end{eqnarray*}$

Damit sollte dann rein formal erstmal alles klar sein. Anschauung entwickelt sich, wenn du ein paar Beispiele kennen gelernt hast. Augenzwinkern

26.05.2011, 00:54

Cosinuspihalbe

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RE: nächtlicher Tipp
args... wollte gar keine bruchstriche machen... editier das gleich mal um.

um meine frage zu konkretisieren:

sei $\begin{eqnarray*} v \in U_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (v_1 , v_2 , v_3) \end{eqnarray*}$ .

so sind doch die durch $\begin{eqnarray*} U_3 / U_2 \end{eqnarray*}$ erzeugten äquivalenzklassen vektoren der form $\begin{eqnarray*} (v_1 , x , x) \end{eqnarray*}$ wobei x beliebige einträge können sein.
und die durch $\begin{eqnarray*} U_3 / U_1 \end{eqnarray*}$ erzeugten äquivalenzklassen vektoren der form $\begin{eqnarray*} (x , v_2 , v_3) \end{eqnarray*}$ .

oder sehe ich das falsch?

wenn ich richtig liege, dann kann ich mir nicht vorstellen, welche vektoren von $\begin{eqnarray*} U_3 / U_1 \end{eqnarray*}$ auf das neutrale element von $\begin{eqnarray*} U_3 / U_2 \end{eqnarray*}$ abbilden.

26.05.2011, 00:56

Cosinuspihalbe

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RE: nächtlicher Tipp
danke für die hilfe juffo, da muss ich mal nen weilchen drüber grübeln.

26.05.2011, 01:02

juffo-wup

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RE: nächtlicher Tipp

Zitat:

Original von Cosinuspihalbe
so sind doch die durch $\begin{eqnarray*} U_3 / U_2 \end{eqnarray*}$ erzeugten äquivalenzklassen vektoren der form $\begin{eqnarray*} (v_1 , x , x) \end{eqnarray*}$ wobei x beliebige einträge können sein.
und die durch $\begin{eqnarray*} U_3 / U_1 \end{eqnarray*}$ erzeugten äquivalenzklassen vektoren der form $\begin{eqnarray*} (x , v_2 , v_3) \end{eqnarray*}$ .

oder sehe ich das falsch?

Ich weiß nicht wo du das her hast, aber das ist Unsinn. Die Äquivalenzklassen werden nicht von $\begin{eqnarray*} U_3/U_2 \end{eqnarray*}$ "erzeugt", sondern $\begin{eqnarray*} U_3/U_2 \end{eqnarray*}$ ist (definiert als) die Menge dieser Äquivalenzklassen. Die Äquivalenzklassen sind selber auch Mengen, und zwar gerade die Mengen $\begin{eqnarray*} v+U_2=\{v+u\, |\, u\in U_2\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\in U_3. \end{eqnarray*}$
Das ist in deinem Skript oder deiner Vorlesung bestimmt auch so definiert.

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