Beweis mit Drehung und Streckung!

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11.12.2006, 17:53	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Drehung und Streckung! Hi leute! Ich habe folgende aufgabe von meinem LK Mathelerer bekommen: Zeigen Sie, dass jede Matrix M= a b c d aus einer drehung D= cos(alpha) -sin(alpha) sin (alpha) cos(alpha) und einer Streckung S= r 0 0 t durch M=DS darstellbar ist. Bei der suche nach einer Lösung bin ich hier auf das Forum gestoßen. Und somit habe ich mich entschieden euch zu fragen ob ihr mir helfen könnt. Bitte Helft mir!!!!!!!!! Danke schon mal für antworten!!!!!!!!
11.12.2006, 22:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis mit Drehung und Streckung! Du meinst folgende Matrizen? $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} a&b \\c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = \begin{pmatrix} cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} r&0 \\0&t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M = DS \end{eqnarray}$
12.12.2006, 00:25	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
ja nur Bei S hat mir der lehrer nicht -0 gegeben sondern normal 0 sorry dass es so unübersichtlich geschrieben war wusste nciht wie ich es machen kann .
12.12.2006, 14:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a&b \\c&d \end{pmatrix} =M = DS = \begin{pmatrix} cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\sin(\alpha)&cos(\alpha) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r&0 \\0&t \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r \cdot cos(\alpha)&-t\cdot sin(\alpha) \\ r \cdot sin(\alpha)& t \cdot cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = r \cdot cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = -t \cdot sin(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = r \cdot sin(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = t \cdot cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ Um nun diese Gleicheit zu beweisen, mussen wir sie aus beiden Richtungen betrachten. Zuerst von rechts nach links:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Wegen } r, t \in \mathbb R \text{ und } sin(\alpha), cos(\alpha) \in [-1,1] \subset \mathbb R \text{ gilt auch } a,b,c,d \in \mathbb R \text{ für alle }r,t, \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ Die interessantere Frage ist nun die Gegenrichtung. Findet man zu jeder Kombination a,b,c,d die passenden r,t,} \alpha? \end{eqnarray}$ Vielleicht willst du das an einem Beispiel versuchen?
12.12.2006, 20:58	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Danke schön!!!!!! Ein Beispiel wäre supper. Ich habe noch eine Frage. Kann man irgendwie zeichnerisch darstellen oder veranschaulichen, weil ich muss es vortragen. Danke schön nochmal!!!!!!
12.12.2006, 21:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuchen wir jetzt mal für die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3&4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Drehung und Streckung zu bestimmen. Vielleicht wollen wir uns der Sache geometrisch annähern? Die Standardnormalbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind die Vektoren $\begin{eqnarray} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Matrix repräsentiert eine Lineare Abbildung. durch die wird $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abgebildet. Zeichne das mal in ein Krordinatensystem.
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12.12.2006, 22:11	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
nur ich hab eine frage: wie kann man es in ein kordinatensystem einzeichen? und wie vektoren also das es bei y=3 aufhört.
13.12.2006, 22:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt hab ich noch mal was nachgedacht. Mir ist war nicht so ganz klar,alle Matrizen realisieren soll. Die Drehmatrix ist eine längen und Winkeltreue Abbildung. Mit der Streckung können wir, falls ein Faktor negativ ist, den Winkel zischen den Vektoren nur von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 180° - \phi \end{eqnarray}$ ändern. nehmen wir jetzt mal folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ändert sich der Zwischenwinkel von 90° auf 0°. Da weiß ich jetzt grad nicht weiter. sry. Vielleicht fragst Du da nochmal nach.
13.12.2006, 22:46	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
sagen wir mal der vektor a c ist ein belibiger Punkt P und dieser wird ja ausgedrückt durch a=rcos(alpha) und c=rsin(alpha). Wenn man jetzt den vektor rcos(alpha) und rsin(alpha) in ein kordinatensystem einzeichnet dann is es doch genau wie ein normaler vektor: nehmen wir mal an dass der belibiegi punkt P sich jetzt bei (1,5;3) befindet somit die rote strecke ist somit "r" und der winkel ist "alpha" also rcos(alpha) und die strecke von x=1,5 senkrecht hoch bis y=3 ist rsin(alpha) somit können wir jeden beliebigen Punkt P damit erreichen. ich weiß nur nicht ob es jetzt verständlich rüberkommt was ich meine ist bisschen schwierig. aber falls du es verstehst stimmt es was ich da behaupte ? XD
13.12.2006, 23:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider verstehe ich nocht so ganz was du willst. Wir können den Ortsvektor OP, durch die Vektoren a,c ausdrücken, und zwar OP = a + c mit a = rcos(alpha) und c = rsin(alpha) soweit klar. Aber was behauptest du jetzt eigentlich? Und hat das was mit meiner Frage zu tun?
31.12.2006, 16:36	sandman	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn du am ende nicht ganz verstanden hast was ich wollte hast du mir trotzdem sehr geholffen!!! ICH DANKE DIR!!!!! Hab auf den Referat eine zwei bekommen!!! Die Seite ist spitze! Ich werde sie weiter empfehlen! Danke noch mal!

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