berechnung eines volumens

11.12.2006, 18:00

diger_diga

berechnung eines volumens

bei der berechnung eines volumens habe ich schon einige möglichkeiten herausgearbeitet so still für mich
die eine wäre das was ich mal gelernt habe rotationskörper was ich aber relativ doof finde

die nächste empfinde ich persönlich viel logischer! das wäre die der unendlichen reihe mit kleinen teilvolumina

und die 3. da hakts bei mir am integral:

angenommen ich habe die funktion f(x,y) = x^2 + y^2

muss ich dann wenn ich das volumen ausrechnen möchte das von der "volumenparabel" eingeschlossen wird den ganzen kram inkl. grenzen integrieren nach der reihe und DANN wenn die oberen und unteren grenzen +r und -r sind das daraus entstehende volumen von dem quader abziehen?

der quader wäre (2*r)*(2*r)*h - das doppelintegral?

11.12.2006, 20:53

Abakus

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RE: berechnung eines volumens
Willkommen im Bord, diger-diga Wink

Fraglich ist zunächst, welches Volumen du genau berechnen willst. Wenn "das Innere des Paraboloids" gemeint ist, musst du von dem Volumeninhalt des Kubus abziehen, wenn du so vorgehst wie du schreibst.

Grüße Abakus smile

**** verschoben zur Analysis ****

11.12.2006, 21:22

diger_diga

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problem ist nur da kommt nicht das selbe raus!

so würde ich es mit der 3. art machen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r}~\int_{-r}^{r}~100*(x^2+y^2)~dx~dy \end{eqnarray*}$

integrieren und umformen kommt raus

$\begin{eqnarray*} ((2*r)*(2*r)*h)-800/3*r^4 \end{eqnarray*}$

problem ist nur da kommt nicht dasselbe ergebnis raus wie bei den anderen wegen!über die anderen wege komm eine irrrationale zahl raus wegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ hier aber eine rationale weil es nur brüche sind!

11.12.2006, 21:49

Abakus

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Zitat:

Original von diger_diga
problem ist nur da kommt nicht das selbe raus!

so würde ich es mit der 3. art machen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r}~\int_{-r}^{r}~100*(x^2+y^2)~dx~dy \end{eqnarray*}$

So berechnest du den Rauminhalt der von f und der xy-Ebene über dem Quadrat $\begin{eqnarray*} [-r, r] \times [-r, r] \end{eqnarray*}$ begrenzt wird. D.h. hier hast du keinen Kreis, wie bei einer Rotation (ggf. musst du teilweise andere Grenzen wählen, wenn du den Kreis mit Radius r betrachten willst).

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

11.12.2006, 22:02

diger_diga

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ich versteh nur bahnhof!!!
muss ich x^2+y^2 umschreiben ???
wie kann man das machen indem man -r und +r auspannt??? das wird doch wohl möglich sein ?? x^2 + y^2 spannt schließlich einen paraboloid auf!
kannste das einmal "vorrechnen" damit ich das auch versteh?

11.12.2006, 22:19

Abakus

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Du musst deine Integrationsgrenzen richtig setzen. So integrierst du über ein Quadrat statt über den von dir gewünschten Kreis (wenn ich es richtig verstehe).

Wenn du Polarkoordinaten kennst, kannst du damit über kreisförmige Mengen zB geeignet integrieren.

Grüße Abakus smile

PS: zum Vorrechnen, siehe Boardprinzip

12.12.2006, 00:48

diger_diga

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zum thema vorrechnen! finde das ziemlich doof wenn man hilfe braucht und man dann gesagt bekommt machs selber!
mehr ist das ja nicht!

und bzgl der polarkoordiaten! wieso kann ich eine funktion wie den paraboloid als koorodiatenschreibweise DARSTELLEN aber dann über ihn nicht integrieren ??
auf gut deutsch? was soll der mist? wieso für ich dann nicht gleich dafür andere sachen ein?
es muss doch wohl möglich sein über solche sachen in der koordiantenschreibweise integrieren zu können!

12.12.2006, 00:53

diger_diga

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kann ich für

x schreiben $\begin{eqnarray*} x=r*cos\phi \end{eqnarray*}$ und für y $\begin{eqnarray*} y=sin\phi \end{eqnarray*}$

???

und sag dann einmal phi um 360° ???

12.12.2006, 17:19

Abakus

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Zitat:

Original von diger_diga
zum thema vorrechnen! finde das ziemlich doof wenn man hilfe braucht und man dann gesagt bekommt machs selber!
mehr ist das ja nicht!

Du kannst gerne weitere Fragen stellen. Einen eigenen Ansatz solltest du jedoch mindestens haben.

Zitat:

und bzgl der polarkoordiaten! wieso kann ich eine funktion wie den paraboloid als koorodiatenschreibweise DARSTELLEN aber dann über ihn nicht integrieren ??
auf gut deutsch? was soll der mist? wieso für ich dann nicht gleich dafür andere sachen ein?
es muss doch wohl möglich sein über solche sachen in der koordiantenschreibweise integrieren zu können!

Natürlich kannst du es mit Koordinatenschreibweise lösen. Polarkoordinaten sind dem Problem nur besser angepasst.

Betrachte zunächst deinen Integrationsbereich: das ist ein Kreis mit Radius r um den Ursprung. Demnach sind deine Integrationsgrenzen die folgenden:

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r} \int_{- \sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}~(x^2 + y^2) ~dy~dx \end{eqnarray*}$

Das Integral ist dann zu lösen.

Zitat:

Original von diger_diga
kann ich für

x schreiben $\begin{eqnarray*} x=r*cos\phi \end{eqnarray*}$ und für y $\begin{eqnarray*} y=sin\phi \end{eqnarray*}$

???

und sag dann einmal phi um 360° ???

Für Polarkoordinaten siehe zunächst hier.

Grüße Abakus smile

16.12.2006, 15:29

diger_diga

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sorry war lange net da!

wieso setz ich denn bei dem integral für x r und -r ein und dem für y den wurzelterm? müsste dasselbe nicht auch für x gelten?

16.12.2006, 23:43

Abakus

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Zitat:

Original von diger_diga
wieso setz ich denn bei dem integral für x r und -r ein und dem für y den wurzelterm? müsste dasselbe nicht auch für x gelten?

Das hängt davon ab, worüber du integrieren willst:

Wenn du die Wurzelterme nimmst, liegen deine Integrationsgrenzen auf dem Kreis und der Kreis ist dein Integrationsbereich (diesen brauchst du, wenn du um die z-Achse drehst).

Wenn du -r und +r nimmst, liegen deine Integrationsgrenzen auf dem Quadrat und das Quadrat ist dein Integrationsbereich.

Grüße Abakus smile

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