A posteriori wahrscheinlichkeit bei einem drei Urnen Problem |
| 26.05.2011, 14:14 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| A posteriori wahrscheinlichkeit bei einem drei Urnen Problem Hallo, ich habe ein Problem bei der Berechnung der A posteriori Wahrscheinlichkeit des folgenden Problems: Gegen seien Drei Urnen und folgende A priori wahrscheinlichkeiten: ____________|_RoteKugeln|__SchwarzeKugeln__| P(UrneA) = 50%|___40____|_____60___________| P(UrneB) = 20%|___20____|_____80___________| P(UrneC) = 30%|___50____|_____50___________| Nun werde heimlich eine Urne ausgewählt und dieser Urne 4 Kugeln m.Z entnommen. Diese seien zum Beispiel rot schwarz schwarz rot. Die Aufgabe sei nun: Aus den A priori informationen und den Signalen die A posteriori Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die nächste gezogene Kugeln rot sei. Nur wie mache ich dies bei drei Urnen? Kann mir jemand helfen? Danke Danke Meine Ideen: Für zwei Urnen habe ich kein Problem: Ich berechne zunächst die Likelihood und dann die W' dass eine bestimmte Urne ausgewählt wurde. Dann Multipliziere ich die W' der jeweiligen Urne mit der bedingten W', dass rot gezogenen wird und summiere über die beiden W'. Aber ich bin völlig unschlüssig, ob mir das bei drei Urnen hilft... |
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| 26.05.2011, 18:05 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: A posteriori wahrscheinlichkeit bei einem drei Urnen Problem
Wenn die 4 Kugeln mit Zurücklegen entnommen wurden, dann ändert sich für den folgenden Versuch doch nichts. Nach dem Satz der totalen Wkt ist dann ---------------------------------------------------------------- aber nun: es sei ohne Zurücklegen 4 Kugeln nach obigen Regeln entnommem worden. Wenn du nichts von dem Ergebnis weisst, dann bleibt es bei 0.39 !! Also: bleibt es bei - mit Zurücklegen- oder nicht, und was weisst du genau, und was willst du wissen? |
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| 26.05.2011, 18:14 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Dopap, Das ist nicht ganz richtig, da für die Berechnung sowohl die a priori verteilung (nach der du mit hilfe des satzes der totalen wahrscheinlichkeit die W' für rot ausgerechnet hast) wie die posteriori signale berücksichtigen musst. Nach Bayes ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste kugel, die aus der heimlich gewählten Urne gezogen wird, rot ist, sowohl aus der a priori wahrscheinlichkeit wie auch aus den zu berücksichtigenden posteriori signalen. zwei rot zwei schwarz sind indikatoren für die wahrscheinlichkeit, dass Urne A, B oder C gewählt wurde. Ich suche (glaube ich): P(UrneA) unter der Bedingung (2*rot, 2*schwarz) * P(rot|UrneA) + P(UrneB) unter der Bedingungen 2*rot, 2*schwarz * P(rot|UrneB) + P(UrneC) unter der Bedingungen 2*rot, 2*schwarz * P(rot|UrneC) Nur weiß ich nicht, wie man das konkret berechnet |
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| 26.05.2011, 18:35 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie soll ich wissen was du willst? erklär mir bitte ganz genau, was im Vorversuch geschehen ist und was du darüber weisst. z.B. so: es wurden 2 Rote und 2 Schwarze aus einer mir unbekannten Urne entnommen. Die Entnahme erfolgte nach den Regeln. Die Kugeln wurden nicht zurückgelegt. Frage: Wie gross ist die Wkt für mich, dass die erste Kugel die ich nach den Regeln ziehe eine Rote ist? |
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| 26.05.2011, 18:41 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, sorry, das kannst Du natürlich nicht wissen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel eine rote ist, sollte sich aus der a priori verteilung ergeben, also entsprechend des gesetztes der totalen wahrscheinlichkeit. Es gäbe da ja keinen Indikator, dass eine bestimmte urne "eher" ausgewählt wurde als eine andere aufgrundlage der posteriori verteilung. In dem Falle bräuchte ich auch kein Bayes. Ablauf: A priori verteilung wird gegeben Urne wird heimlich ausgewählt Aus der Urne wird 4 mal mit zurücklegen gezogen Aus den vier Ziehungen (vier signalen) ergeben sich die A posteriori Wahrscheinlichkeiten, dass 1. Urne A, B oder C gewählt wurde 2. Die nächste gezogene Kugel rot ist Viele Grüße |
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| 26.05.2011, 19:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schon besser. zu 2.) p(R)=0.39 ist unstrittig. Wenn du mir noch sagst welche "Signale" die heimliche Ziehung lieferten, steht 1.) nichts mehr im Wege. |
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| 26.05.2011, 19:38 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dopap, 2) ist unter der Voraussetzung, dass die Signale vor der Aussage, mit welcher Wahrscheinlichkeit als nächstes "rot" gezogen wird, nicht unstrittig. Ich erkläre es gerne an einem Beispiel: 1. Fall: Eine Urne wurde heimlich ausgewählt. Dann wird viermal gezogen und es kommt schwarz schwarz schwarz schwarz heraus. Es soll dann die a posteriori W' angegeben werden, dass als nächstes rot gezogen wird. 2. Fall: Eine Urne wurde heimlich ausgewählt. Dann wird viermal gezogen und es kommt rot rot rot rot heraus. Es soll dann die a posteriori W' angegeben werden, dass als nächstes rot gezogen wird. In beiden Fällen unterscheiden sich die Signale und die Signale sind Indikatoren, welche Urne heimlich ausgewählt wurde. Sie sind somit beim berechnen der a posteriori W', dass als nächstes "rot" gezogen wird zu berücksichtigen, denn a) werden die urnen mit unterschiedlichen w' ausgewählt und b) enthalten die urnen unterschiedliche anteile roter kugeln. Ich habe nur leider keine Ahnung, wie man Bayes a posteriori W' bei einem derartigen drei Urnen problem berechnet. |
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| 26.05.2011, 20:03 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich nehme jetzt mal an, dass 2R und 2S mit Zurücklegen gezogen wurden. 4R ändert nichts am Prinzip. a.) nach totaler Wkt. erster Summand: zweiter Summand: .... dritter Summand.... ------------------------------------------------- b.) ist die Wkt, dass Urne A gewählt wurde. Hier wird von der Wirkung (2S2R)[Signal] auf die Ursache ( A ) geschlossen. c.) dito d.) dito Das sind deine 3 Wkt's a posteriori nach Bayes. edit: o.k. wie ich gerade sehe ist das nicht genau das was du wolltest, aber die Frage ist auch interessant und hätte ja auch so lauten können. 
muss noch ein wenig nachdenken. |
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| 26.05.2011, 21:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe nachgedacht und komme zu dem Ergebnis, dass du dich wegen Zurücklegens der Kugeln, beim nächsten Zug ( nach Regeln ) in derselben Informationsmenge befindest. es bleibt bei p(R)=0.39 |
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| 26.05.2011, 21:17 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dopap, ich muss dein vorletztes Post nochmal nachrechnen. Ich habe das als erste Lösung selber durchgerechnet und kam, wenn ich meine beispielhafte zwei Urnen a-posteriori Berechnung für drei Urnen durchführe, auf krumme Ergebnisse. Ich bin immernoch unsicher, ob das der richtige Weg ist, aber wie gesagt, ich rechne nach. Dein letzter Beitrag enthält wieder den Denkfehler, dass Du den Informationsgehalt der gezogenen Kugeln aus der !geheimen! Urne (aus der auch die nächste Kugel gezogen wird) nicht berücksichtigst. Es könnte auch natürlich an meiner mangelnden Erklärung liegen, dass die "nächste" Kugel, ebenfalls aus dieser Urne gezogen wird ;-). Dann würde ich nochmals um Entschuldigung bitten. Vielen Dank und viele Grüße |
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| 26.05.2011, 22:13 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau so ist es. In einem der vorigen posts hast du nach dem Rückschluss auf Urne A oder B oder C gefragt. Meine Rechnung war also doch nicht umsonst... hatte das noch im Kopf. |
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| 26.05.2011, 23:37 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bleibt noch p(R'). Folgendes sei gegeben: Vor 3 ununterscheidbaren Urnen A B und C steht ein Glücksrad mit den Sektoren A B und C mit den Wkts 0.5 0.2 und 0.3 Diese sind wiefolgt bestückt: A(40Rote,60Schwarze) B(20R,80S) und Urne C(50R,50S) Kugeln. In deiner Abwesenheit wird dieses gedreht und aus der zugehörigen Urne werden 4 schwarze Kugeln mit Zurücklegen zufällig gezogen. Das wird Dir gesagt. Du darfst nun aus dieser, Dir unbekannten Urne eine Kugel zufällig ziehen. Wie gross ist die Wkt, dass Diese rot ist.? So hätte ich die Aufgabe gestellt. (Es kommt auf jedes Komma an ! ) zurück zum Thema: die a posteriori Wahrscheinlichkeiten für die gewählte Urne --------- Herleitung siehe oben --------- betragen für Urne A 0.3916 oder nach Bayes P(A|4S)=0.3916 weiterhin P(B|4S)=0.4951 und P(C|4S)=0.1133 ---------------------------------- Summe = 1 dein nächster Zug ist so, als ob das Glücksrad jetzt obige Wkt-Verteilung hätte. Man sieht, dass Urne B vom Schlusslicht ( 20%) zum Favoriten ( 49.51%) aufgestiegen ist. Das ist der Vorinformation (4S) geschuldet. Und jetzt noch die totale Wkt das heisst, durch die Vorinformation sank P(R) von 39% auf P(R')=26.06% das ist plausibel, da doch Urne B Favorit wurde und diese eben nun mal deutlich die wenigsten roten Kugeln enthält. ---------------------------------------- Ich hoffe, dass die Länge des Threads zeigt, dass nicht Denkfehler sondern unvollständige Informationen die Quelle der meisten "Fehler" sind. Gerade obige Rechnung(en) zeigt doch den Einfluss der Information.
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| 27.05.2011, 09:27 | jpluedtke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hoffe Du verzeihst für das erste Post die fehlende Spezifikation in der Aufgabenstellung. Ich danke und rechne nach. |
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