Gleichgroße Mengen?

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Gleichgroße Mengen?
Meine Frage:
Ich habe mir gerade folgende Frage gestellt:

Gegeben sei eine Menge , die alle ungeraden Zahlen beinhaltet und eine Menge , die sowohl alle geraden als auch alle ungeraden Zahlen beinhaltet. Besitzen beide Mengen die gleiche Anzahl an Elementen?


Meine Ideen:
Ich habe zwei Lösungsmöglichkeiten:

1. besitzt unendlich viele Elemente. besitzt auch unendlich viele Elemente. Somit haben beide Mengen die gleiche Anzahl an Elementen.

2. besitzt unendlich viele Elemente. besitzt die unendlich vielen Elemente aus und dazu noch unendlich viele Elemente (unendlich viele geraden Zahlen). Folglich besitzt mehr (unendlich) Elemente als .


Welches der beiden Lösungen ist richtig? Ich komme hier nicht weiter.
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Oder ist die Lösung dieser Frage - wie auch bei einigen mathematischen Problemen - nicht entscheidbar?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage ist entscheidbar, und das ziemlich unkompliziert.

Bei unendlichen Mengen spricht man auch gerne von ihrer Mächtigkeit, da es verschiedene Unendlichkeiten (!) gibt.
Deswegen ist es auch ein bisschen unglücklich, von der Anzahl der Elementen zu sprechen. Denn unendlich sagt noch nicht sehr viel aus.

Ob diese Mengen gleichmächtig sind, kann man überprüfen, indem man eine ein-eindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen den Mengen definiert, die jedem Element der Mengen genau ein Element der Menge zuordnet.

Solch eine Funktion nennt man dann Bijektion.

Es geht hier um und um .

Dabei bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen (positive, negative und natürlich die Null).

Ich hoffe, dass dir das zunächst geholfen hat.
Versuche dann, solch eine Bijektion zu finden (um dir Mut zu machen: es gibt tatsächlich eine). smile
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Es gibt keine Bijektion , da sie sonst sowohl injektiv - was erfüllt ist - als auch surjektiv - was aber nicht erfüllt ist - sein müsste. Daraus folgt, dass und nicht gleichmächtig sind.
Also besitzt mehr Elemente als ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Es gibt tatsächlich eine Bijektion zwischen den Mengen, wie ich auch schon in meinem ersten Post geschrieben habe.

Wie würde denn deine "Bijektion"

aussehen?
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Ich nehme an, dass die Bijektion dann folgendermaßen aussieht:



oder?
 
 
Silly_CO Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine injektive Abbildung keine surjektive.
Wenn

dann ist


Wir suchen aber eine bijektive Abbildung.
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Das ist gerade mein Problem. Ich finde hierzu keine Lösung...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um ungerade ganze Zahlen und um alle ganzen Zahlen.

Wie würdest du denn eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und den geraden Zahlen definieren?
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Ah, okay jetzt hab ich´s.
Die Bijektion ist dann:

Dann ist die Menge der geraden Zahlen genau so groß wie die Menge der ganzen Zahlen.
Darauf hätte ich gleich kommen müssen. Hammer

Danke. Freude
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!

Aber wir sind noch nicht fertig, wir wollten ja eine Bijektion zwischen der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der ungeraden Zahlen konstruieren.

Aber die Bijektion ist korrekt, wenn man mit die Menge der ganzen Zahlen meint und mit .

Dann müsstest du eigentlich die Abbildung noch auf Surjektivität und Injektivität prüfen... (wenn du willst)
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