Endlicher Körper - Anzahl der Elemente

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Körper - Anzahl der Elemente
Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:
Sei K ein Körper mit q Elementen und

1. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Wie viele Elemente hat V?
2. Wie viele Elemente hat und wie viele davon sind invertierbar?
3. Bestimmen Sie für die Anzahl der Matrizen vom Rang r in
4. Bestimmen Sie die Anzahl der ein-dimensionalen Unterräume von K^n


Ich habe allerdings noch ein paar Probleme dabei.

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

1. Da jedes Element von V ein n-tupel ist, und ich für jeden Eintrag des Tupels q Möglichkeiten habe, müsste das doch einfach sein.

2. Ein Element des ist eine Matrix mit insgesamt 4 Einträgen. Für jeden Eintrag habe ich q Möglichkeiten, diesen zu wählen. Somit habe ich insgesamt Elemente in .

Da K ein Körper ist, sind die invertierbaren Elemente genau diejenigen, deren Determinante ungleich 0 ist.
Mir ist jetzt noch nicht so ganz klar, wie ich die nicht-Invertierbaren herausfinden kann.

Wenn ich mir einfach ein nehme, dann ist ja mit .

und somit ist ist.

Doch wie könnte ich nun die Anzahl der Matrizen bestimmen?

3. für habe ich nur eine Matrix, nämlich die Nullmatrix.
für habe ich momentan noch keine Ideen.

4. Es ist ja , wobei die jeweils eindimensionale Unterräume sind. Dann ist ja schon klar, dass es genau n Stück von ihnen gibt.
Das kommt mir aber etwas zu einfach vor. Habe ich hier vielleicht etwas falsch verstanden?

kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zur 2.

Ich würde eher so rangehen, dass ich die nicht-invertierbaren Matrizen zähle, indem ich sie erstmal unterteile in

- 1. Spalte keine Nullspalte, 2. Spalte skalares Vielfache der 1. Spalte
- 1. Spalte Nullspalte, 2. Spalte beliebig.

Nun für beiden Fälle die Möglichkeiten zählen und dann aufaddieren.
 
 
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort, dann versuche ich das mal:

Zitat:
Original von tmo
- 1. Spalte Nullspalte, 2. Spalte beliebig.


Wenn die erste Spalte eine Nullspalte ist, dann ist die Determinante der Matrix für alle möglichen Einträge gleich 0.
Das wären dann also schonmal mögliche nicht-invertierbare Matrizen.


Zitat:
Original von tmo
- 1. Spalte keine Nullspalte, 2. Spalte skalares Vielfache der 1. Spalte


Wenn dieser Fall vorliegt, sind die Spalten der Matrix linear abhängig und somit die Determinante gleich 0.

Nur für die erste Spalte habe ich verschiedene Möglichkeiten.
Dann habe ich noch q Möglichkeiten, das skalare Vielfache zu wählen.

Somit hätte ich dann für diesen Fall Möglichkeiten.

Zusammen wären das dann also nicht-invertierbare Matrizen, und somit invertierbare Matrizen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger


Zitat:
Original von tmo
- 1. Spalte keine Nullspalte, 2. Spalte skalares Vielfache der 1. Spalte


Nur für die erste Spalte habe ich verschiedene Möglichkeiten.
Dann habe ich noch q Möglichkeiten, das skalare Vielfache zu wählen.


Da steckt ein kleiner Fehler drin. Wir haben nicht ganz Möglichkeiten für die ersten Spalte, denn ist keine zulässige Möglichkeit.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, das habe ich nicht beachtet.

das wären dann also Möglichkeiten für die erste Spalte.
das wären dann also für diesen Fall Möglichkeiten, und somit für beide Fälle zusammen dann nicht-invertierbare Matrizen.

Damit komme ich dann auf invertierbare Matrizen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Bei der 3. kannst du jetzt ähnlich verfahren.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dann versuche ich es mal bei der 3.


Hier habe ich nur die Nullmatrix, also gibt es nur 1 Matrix.


Wenn ich es mir wieder anhand der Spalten überlege, komme ich auf folgendes:

Ich habe wieder Möglichkeiten, die Einträge in der ersten Spalte zu wählen. Allerdings dürfen beide nicht gleichzeitig 0 sein, also habe ich Möglichkeiten für die ersten Spalten.

Damit rang = 1 vorliegt, müssen die beiden anderen Spalten linear abhängig sein.
Damit habe ich dann wieder q Möglichkeiten für das skalare Vielfache der zweiten Spalte und nochmal q Möglichkeiten für das skalare Vielfache der dritten Spalten.

Dann komme ich insgesamt auf Matrizen mit rang 1.


für die ersten beiden Spalten habe ich jeweils Möglichkeiten, wobei ich aber noch jeweils aufpassen muss, dass beide jeweils nicht sind.

Damit komme ich auf Möglichkeiten.

Jetzt muss ich hier aber aufpassen, dass die ersten beiden Spalten nicht linear abhängig werden. Also muss ich davon noch die linear abhängigen Möglichkeiten abziehen.
Die linear abhängigen müssten Stück sein, dann bin ich bei

.

Dann habe ich wieder q Möglichkeite, das skalare Vielfache der dritten Spalte zu wählen.

Damit würde ich dann auf Möglichkeiten kommen.

Hier scheint allerdings noch etwas der Wurm drin zu sein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum machst du es dir so schwer und betrachtest die Spalten?

Es ist doch viel einfacher, die Zeilen zu betrachten, davon gibt es nur 2.

Für Rang 1 also:

- 1. Zeile Nullzeile, 2 Zeile beliebig, aber nicht Nullzeile

- 1. Zeile keine Nullzeile, 2. Zeile skalares Vielfaches.




Und dann denke mal nach, wie du die Anzahl der Matrizen vom Rang 2 bestimmst, wenn du schon die Anzahl derer mit Rang 1 und Rang 0 kennst.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, die Zeilen zu betrachten ist dann doch wirklich einfacher.

Zitat:
1. Zeile Nullzeile, 2 Zeile beliebig, aber nicht Nullzeile

Möglichkeiten

Zitat:
1. Zeile keine Nullzeile, 2. Zeile skalares Vielfaches.

Möglichkeiten.

Zusammen dann Möglichkeiten.

Zitat:

Und dann denke mal nach, wie du die Anzahl der Matrizen vom Rang 2 bestimmst, wenn du schon die Anzahl derer mit Rang 1 und Rang 0 kennst.


stimmt, der maximale Rang ist hier 2,also muss ich bloß die Anzahl aller Matrizen bestimmen und davon diejenigen mit Rang 0 und Rang 1 abziehen.

damit erhalte ich Möglichkeiten.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das müsste jetzt so stimmen.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dann danke ich dir schonmal für deine Hilfe.

habe ich teil 4 denn auch richtig verstanden?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChronoTrigger
habe ich teil 4 denn auch richtig verstanden?


Nein, dein Ansatz von oben ist nicht zielführend, wie auch folgendes Beispiel über einem unendlichen Körper zeigt: , aber es gibt sicherlich noch viel mehr eindimensionale Unterräume, die sich von diesen beiden unterscheiden, zum Beispiel .

Aber du solltest hier gerade gesehen haben, dass man die Räume gut mit Hilfe ihrer Erzeuger überblicken kann. Das sollte dann beim Zählen helfen... Augenzwinkern
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke jester,

das hat wirklich beim zählen geholfen smile
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