Laurent-Reihe einer Fkt im Kreisring

26.05.2011, 16:57	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Reihe einer Fkt im Kreisring Ich soll die Laurent-Reihe auf dem Kreisring $\begin{eqnarray} K_{1,2}(0)=\left\{ z\in\mathbb{C}\mid1<\left\|z\right\|<2\right\} \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)} \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das alles so machen darf. Aber ich fang erstmal an $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)}+\frac{1}{1-z}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)} \end{eqnarray}$ kann ich ja ohne Probleme als $\begin{eqnarray} \overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n} \end{eqnarray}$ schreiben da $\begin{eqnarray} \left\|\frac{z}{2}\right\|<1 \end{eqnarray}$ für alle z aus dem Kreisring ist. Bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt eins bissl mehr machen, da dies so noch keine geometrische Reihe ist. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}-1}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=-\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n} \end{eqnarray}$ (darf man das eigentlich einfach so umdrehen?) dann wäre also $\begin{eqnarray} f(z)=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\left(\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}\right)+\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\right)=-\frac{1}{z}\left(\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+1)}+\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\right)=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+2)}+\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}\left(2^{-(n+1)}+1\right)z^{n} \end{eqnarray}$ Ich bin nicht ganz sicher, ob ich das einfach so machen kann, weil ich in letzter Konsequenz, mir alles so “hingeprügelt” habe, dass ich da ne geometrische Reihe draus machen kann und so. Kommentare wären echt super
26.05.2011, 17:42	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab da einiges falsch gemacht, hier meine, vielleicht immer noch nicht ganz richtige, aber korrigierte Version $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)}+\frac{1}{1-z}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)} \end{eqnarray}$ kann ich ja ohne Probleme als $\begin{eqnarray} \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n} \end{eqnarray}$ schreiben da $\begin{eqnarray} \left\|\frac{z}{2}\right\|<1 \end{eqnarray}$ für alle z aus dem Kreisring ist. Bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt eins bissl mehr machen, da dies so noch keine geometrische Reihe ist. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}-1}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=-\overset{\infty}{\underset{n=-1}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=-\overset{-1}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n} \end{eqnarray}$ dann wäre also $\begin{eqnarray} f(z)=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\left(\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}\right)-\overset{-1}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\right)=-\frac{1}{z}\left(\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+1)}-\overset{-1}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}\right)=\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}z^{n-1}\cdot2^{-(n+1)}-\overset{-1}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\overset{\infty}{\underset{n=-1}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+2)}+\overset{0}{\underset{n=-\infty}{\sum}}-1\cdot z^{n}=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}a_{n}z^{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n}=\left\{ \begin{array}{cc}<br /> 2^{-(n+2)} & n\geq-1\\<br /> -1 & n\leq0\end{array}\right. \end{eqnarray}$
26.05.2011, 17:59	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Da waren noch ein paar Indizes wieder nicht richtig $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)}+\frac{1}{1-z}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-\left(\frac{z}{2}\right)} \end{eqnarray}$ kann ich ja ohne Probleme als $\begin{eqnarray} \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n} \end{eqnarray}$ schreiben da $\begin{eqnarray} \left\|\frac{z}{2}\right\|<1 \end{eqnarray}$ für alle z aus dem Kreisring ist. Bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt eins bissl mehr machen, da dies so noch keine geometrische Reihe ist. $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}-1}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=-\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n} \end{eqnarray}$ dann wäre also $\begin{eqnarray} f(z)=-\frac{1}{z}\left(\frac{1}{2}\left(\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}\right)-\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}\right)=-\frac{1}{z}\left(\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+1)}-\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}\right)=\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}z^{n-1}\cdot2^{-(n+1)}-\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n+1} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\overset{\infty}{\underset{n=-1}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+2)}-\overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}}\left(\frac{1}{z}\right)^{n}=\overset{\infty}{\underset{n=-1}{\sum}}z^{n}\cdot2^{-(n+2)}-\overset{-2}{\underset{n=-\infty}{\sum}}z^{n}=\overset{\infty}{\underset{n=-\infty}{\sum}}a_{n}z^{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n}=\begin{cases}<br /> \begin{array}{cc}<br /> 2^{-(n+2)} & n\geq-1\\<br /> -1 & n\leq-2\end{array}\end{cases} \end{eqnarray}$ Ob sich das überhaupt jemand antun möchte zu durchschauen, was ich hier in 3 Beiträgen gemacht habe? Hätte das ja editiert, aber das ging nicht
26.05.2011, 18:04	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt nicht alles gelesen, aber dein letztes Ergebnis liefert $\begin{eqnarray} \frac{2z-3}{z(z-1)(z-2)} \end{eqnarray}$ , was wolh eng damit zusammenhängt, dass $\begin{eqnarray} f(z)\neq -\frac 1 z \left( \frac 1 2 \frac 1 {1- \frac z 2} + \frac 1 {1-z} \right) \end{eqnarray}$ . Das Vorgehen sieht eigentlich auch richtig aus, du gehst offenbar nur von der falschen Partialbruchzerlegung aus. PS: Es gibt hier eine Edit-Funktion, du musst also nicht drei Beiträge in Folge verfassen. Klicke einfach oben rechts an einem deiner Beiträge auf "Edit".
26.05.2011, 18:10	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich... an dem Schritt scheitert es... Danke. ich werde das morgen in Ruhe nochmal durchrechnen.
26.05.2011, 18:11	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Es selber durchzurechnen ist sicherlich gut, daher nur noch als kleinen Tipp: Es handelt sich um einen einfachen Vorzeichenfehler in $\begin{eqnarray} f(z)\neq -\frac 1 z \left( \frac 1 2 \frac 1 {1- \frac z 2} + \frac 1 {1-z} \right) \end{eqnarray}$ .
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