ln-Funktion analysieren

11.12.2006, 17:06

ln-Funktion analysieren

Hi
Aufgabe lautet:
Zeige, dass zwei verschiedene Scharkurven der Funktion $\begin{eqnarray*} f_a(x)= (\ln{x}-2a)\cdot \ln{x} \end{eqnarray*}$ genau den Punkt P(1;0) gemeinsam haben!

$\begin{eqnarray*} f_{a_1}=f_{a_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\ln{x}-2a_1)\cdot \ln{x}=(\ln{x}-2a_2)\cdot \ln{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln{x}-2a_1=\ln{x}-2a_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2a_1=-2a_2 \end{eqnarray*}$

Ab hier höre ich auf. Wo liegt mein Fehler? Vielleicht schon am Anfang?

11.12.2006, 17:07

Mathespezialschüler

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Wann darf man denn nicht durch $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ teilen? Augenzwinkern

Gruß MSS

11.12.2006, 17:15

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Das ist ja wie ein Rätsel- mehrdeutig

Meinst du :
1. Ich darf in diesem Spezialfall nicht durch ln(x) teilen
oder
2. Ich soll durch ln(x) teilen(, wobei ich das gemacht habe und daher das erste das gemeinte ist)

Ich würde sagen, dass man immer durch ln(x) teilen darf, solange alles berücksichtigt wird... oder irre ich mich da gewaltig?

11.12.2006, 17:29

Mathespezialschüler

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Durch welche Zahl darf man denn i.A. nicht teilen?

Gruß MSS

11.12.2006, 17:32

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durch 0?

11.12.2006, 18:20

Calvin

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Wird der Logarithmus auch mal 0? Wenn ja, dann musst du diesen speziellen Fall getrennt untersuchen.

11.12.2006, 18:20

Mathespezialschüler

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Genau. D.h. du darfst das, was du oben gemacht hast, auch so durchführen, falls $\begin{eqnarray*} \ln x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} \ln x=0 \end{eqnarray*}$ allerdings darfst du das nicht. Und wann wird die $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ -Funktion $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

11.12.2006, 18:21

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edit: weg, sorry! zuviel gesagt.
deshalb solltest du u.U. eine Fallunterscheidung durchführen.
@MSS: Du kannst meinen Post löschen. Danke smile

11.12.2006, 18:34

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RE: ln-Funktion analysieren
Zwar kommen die Antworten spät (wir schreiben morgen klausur und das ist HA) , aber trotzdem danke
$\begin{eqnarray*} f_{a_1}=f_{a_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\ln{x}-2a_1)\cdot \ln{x} = (\ln{x}-2a_2)\cdot \ln{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= (\ln{x}-2a_2)\cdot \ln{x} -(\ln{x}-2a_1)\cdot \ln{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= [-2a_2 +2a_1]\cdot \ln{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= \ln{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a_1\neq a_2 \end{eqnarray*}$

Die nächste Aufgabe:
Wie ist das Verhalten $\begin{eqnarray*} x \to\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f_a(x)=\lim_{x\to\infty}(\ln(x)-2a)\cdot\ln(x)\to\infty \end{eqnarray*}$

Das müsste auch falsch sein, aber wie löse ich sowas?

11.12.2006, 18:58

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Zitat:

Original von PG
Das müsste auch falsch sein

Nennt man wohl Defensivhaltung... wider deiner Erwartung ist es nämlich doch richtig! Augenzwinkern

Aber schreib bitte $\begin{eqnarray*} \lim \ldots = \infty \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lim \ldots \to \infty \end{eqnarray*}$

11.12.2006, 19:17

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Oh stimmt. Habe es eben mit Taschenrechner für viele a's probiert und es geht tatsächlich gegen unendlich( obwohl ich das rechnerisch gemacht habe). Da hat mich der plotter verwirrt, denn bei ihn kamen auch negative Wert und nach meiner Rechnung war das unmöglich...(bestimmt wieder Tippfehler)

Danke Arthur

edit: Ach das mit dem Pfeil sollen wir so machen, weil unendlich kein Wert ist und daher die Funktion dagegen geht, aber sie nimmt unendlich nicht an

11.12.2006, 20:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von PG
edit: Ach das mit dem Pfeil sollen wir so machen, weil unendlich kein Wert ist und daher die Funktion dagegen geht, aber sie nimmt unendlich nicht an

Ok, dann schreibe aber

$\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}\infty\qquad \text{oder:}\qquad f(x)\to\infty\quad \text{für}\quad x\to\infty \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ ,

aber keinesfalls

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x)\to\infty \end{eqnarray*}$ !!!

Gruß MSS

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