Wohldefiniertheit der Kodimension

27.05.2011, 11:35

steviehawk

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Wohldefiniertheit der Kodimension

Meine Frage:
Hey leute, folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein nicht notwendig endlichdimensionaler $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ - Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, indem sie einen Isomorphismus explizit angeben, dass wenn W ein Komplement von U in V ist, dann gilt: W $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ V/U (ich hab es nicht geschafft, dass Zeichen für isomorph zu schreiben)

Meine Ideen:
Also ich muss ja als Beweis einen Isomorphismus explizit angeben, also muss ich doch auch einen K-Vektorraum zb. den $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ explizit wählen??? Dann wäre U eine Ebene oder eine Gerade durch den Nullpunkt. Zu diesem Unterraum finde ich ja im Allgemeinen unendlich viele Komplemente, also konstruiere ich eben eins und zeigen dann, dass es eine bijektive Abbildung zwischen diesem Komplement und dem Fakotrraum V/U gibt.

Könnte das von der Idee her klappen? Oder muss ich das eher allgemeiner machen? Also nicht $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ wählen??

isomorph=\cong. Gruß, Reksilat.

27.05.2011, 12:16

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Ich habe versucht mir das ganze mal geometrisch zu veranschaulichen:

Also sei $\begin{eqnarray*} V = R^2 \end{eqnarray*}$ , dass ist durch $\begin{eqnarray*} U = < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V gegeben. Eine Basis davon wäre $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So dann ergänzt $\begin{eqnarray*} w = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , B zu einer Basis von V.

dann ist $\begin{eqnarray*} W = < \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ ein Komplement zu U in V.

Nun habe ich aber ein Problem mit dem Faktorraum:

Def. $\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V \right\} \end{eqnarray*}$

Also ich weiß, dass ich durch die Verschiebung von U einen affinen Unterraum von V bekomme (hier eine verschobene Gerade).

Diese Verschiebung kann ich durch einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ erreichen, aber auch durch viele andere Vektoren $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ .

Ich kann nun all diese anderen Vektoren zu einer Äquivalenzklasse [v] zusammenfassen.

So in unserem Skript steht, dass durch die Verknüpfung:

[v1] + [v2] = [v1 + v2] und a[v1] = [av1], V/U zu einem Vektorraum wird.

Was ist jetzt aber mein [v1] und was mein [v2]? Es handelt sich doch immer um den gleichen Unterraum U oder? mit v1 kann ich U verschieben (affiner Unterraum) mit v2 kann ich das selbe tun bekomme aber einen andere Verschiebung also auch einen anderen affinen Unterraum.

[v1] müssten doch dann alle Vektoren sein, die äquivalent zu v1 sind und die selbe Verschiebung verursachen wie v1.

[v2] müssten dann alle Vektoren sein die, die äquivalent zu v2 sind und die selbe Verschiebung verursachen wie v2.

So und der Faktorraum V/U nimmt nun alle diese [vi] zusammen oder wie?

Also steht das [v] in der Definition für alle [vi] mit i = {1, ... ,n} umfasst also alle Äquivalenzklassen (Zusammenschluss von äquivalenten Vektoren) mit denen man U verschieben kann?

Kann ich mir diesen V/U auch irgendwie geometrisch vorstellen?

27.05.2011, 12:26

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Wenn ich mir denke, dass V/U die Menge aller Gerade ist, die parallel zu U liegen, dann sehe ich ja, dass es mit dem Komplement W immer genau eine Schnittpunkt gibt. Das würde mich doch dann einen Isomorphismus liefern, aber wie stelle ich den denn bitte auf?

27.05.2011, 14:42

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Hi stevie,

Deine geometrische Interpretation des Faktorraums sieht schon ganz gut aus. Das hilft auf jeden Fall beim Verständnis dieses Begriffs. Freude

Freude

Für diese Aufgabe ist es aber gar nicht sooo wichtig, denn man kann das relativ direkt angehen und muss nicht so große Ideen entwickeln.

Also $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V \right\} \end{eqnarray*}$

Wie würdest Du denn jetzt ganz naiv eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ definieren? Worauf würdest Du ein $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ abbilden? Da gibt es eigentlich nur eine naheliegende Lösung.

Das wird dann auch schon Dein Isomorphismus sein. Du musst es nur noch nachrechnen.

PS: Isomorph=\cong
Diese Seite ist auch ganz nett.

Gruß,
Reksilat.

27.05.2011, 16:45

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Okay also wenn ich nun eine Abbildung definieren würde, dann sehe das so aus:

$\begin{eqnarray*} f: W \Rightarrow V/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w) = [v] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$

hoffe mal ich bin nicht ganz naiv daneben oder doch?

27.05.2011, 17:03

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Was soll den $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sein? Es ist überhaupt kein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ definiert.

Jemand gibt Dir einen Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Worauf bildest Du den ab?

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27.05.2011, 17:07

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Auf ein $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2011, 17:35

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Du willst doch in den Faktorraum abbilden. Ein Element aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt aber nicht im Faktorraum. unglücklich

unglücklich

Das Bild muss schon irgendwie die Gestalt $\begin{eqnarray*} [...] \end{eqnarray*}$ haben, nur musst Du eben noch genau festlegen, welchen Vertreter Du da reinsetzt.
Wenn Du das Bild von $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ festlegen willst, dann gibt es eigentlich nur eine sinnvolle Möglichkeit dafür.
Irgendwie muss ja das $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ dabei auch wieder eine Rolle spielen.

Denk daran, dass $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ insbesondere auch in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegt. Vielleicht macht es ja dann klick.

27.05.2011, 17:53

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
okay also die letzte Antwort war etwas voreil!

Ich will also in den Faktorraum V/U abbilden, wie sieht der aus?

[latex] V/U =

27.05.2011, 18:03

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
ups! Ich will also in den Faktorraum V/U abbilden:

$\begin{eqnarray*} V/U =\left\{ [v] | v \in V \right\} \end{eqnarray*}$

wenn ich nochmal an die Verschiebung denke, dann kann ich U auch durch einen Vektor aus W verschieben alle zu diesem Vektor äquivalenten fasst die Äquivalenzklasse [w] zusammen. Auf diese könnte ich dann abbilden.

also:

$\begin{eqnarray*} f: W \Rightarrow V/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} [w] \in V/U \end{eqnarray*}$

Danke für deine Geduld, aber das mit dem Faktorraum finde und den Äquivalenzklassen habe ich noch nicht ganz durch drungen...

27.05.2011, 18:09

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Korrekt.

Jetzt musst Du die Bijektivität dieser Abbildung zeigen.

Die Injektivität ist ja äquivalent zu $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(f)=\{0\} \end{eqnarray*}$ . Hier hilft $\begin{eqnarray*} U\cap W=\{0\} \end{eqnarray*}$

Für die Surjektivität hilft es, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} v=w+u \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

Gruß,
Reksilat.

28.05.2011, 11:14

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Okay wenn ich nun also die Injektivität beweisen möchte: es gilt ja immer wie du gesagt hast:

$\begin{eqnarray*} injektiv \Rightarrow ker(f) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun also zeigen kann, dass der Kern meiner Abbildung Null ist, dann wäre ich schon fertig. Dabei soll mir ja $\begin{eqnarray*} U \cap W = \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ helfen.

Meine Abbildung geht ja nun aber von W nach V/U, kann ich dann das U in der Gleichung durch V/U ersetzen?

Oder anders: W ist das Komplement zu U in V, bzw. U ist das Komplement von W in V,

kann ich auch sagen, dass W ein Komplement von V/U in V ist??? Denn dann würde ja $\begin{eqnarray*} W \cap U/V = \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

allerdings fällt mir gerade auf, dass das ja nicht viel Sinn macht oder? Eine Abbildung von W nach V/U wenn die nur die Null gemeinsam haben!

V/U ist ja auf jeden Fall ein Komplement von U oder sehe ich das falsch?

28.05.2011, 11:32

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Nochmals ne Frage zum Verstandnis:

also mein $\begin{eqnarray*} f: W \Rightarrow V/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ , was macht diese Abbildung?

Mein [w] ist ja eine Äquivalenzklasse, sie enthält alle Vektoren, die zu dem Vektor w äquivalent sind.

dann wir ja mein Vektor w durch f auf eine ganze Menge von Vektoren abgebildet, die zu ihm selber äquivalent sind,eben auf seine Äquivalenzklasse!

Für mich wäre dann die Injektivität auch relativ trivial, denn wenn ich überlege, dass [0] alle Vektoren enthält, die zur 0 äquivalent sind, dann kann diese ja nur die Null sein, die diese Bild hat.

bzw, durch kein $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \in W \end{eqnarray*}$ bekomme ich durch f dann mein [0] hin.

Weiß nicht wie ich da mit dem Schnitt von U und W arbeiten soll?

28.05.2011, 12:09

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W \cap U/V = \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Das hier ist schon mal falsch, denn die Elemente in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ sind grundverschieden. $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ hingegen nicht, sondern dies besteht aus Äquivalenzklassen. Die Null ist in diesen beiden Räumen verschieden. Es ist $\begin{eqnarray*} 0\neq [0] \end{eqnarray*}$

Zitat:

...wenn ich überlege, dass [0] alle Vektoren enthält, die zur 0 äquivalent sind, dann kann diese ja nur die Null sein, die diese Bild hat.

bzw, durch kein $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \in W \end{eqnarray*}$ bekomme ich durch f dann mein [0] hin.

Das stimmt schon, nur sehe ich nicht genau, wo Du die Eigenschfaten von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hier einbringst.

Mal als Beispiel:
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} g:V\to V/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(v)=[v] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv, da zum Beispiel für einen nicht trivialen Vektor $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u\neq 0 \end{eqnarray*}$ das Bild $\begin{eqnarray*} g(u)=[u]=[0] \end{eqnarray*}$ ist.

Du musst eben zeigen, dass $\begin{eqnarray*} [w]\neq [0] \end{eqnarray*}$ ist, für alle $\begin{eqnarray*} 0\neq w\in W \end{eqnarray*}$ .
Überlege Dir, wann genau im Faktorraum $\begin{eqnarray*} [w]=[0] \end{eqnarray*}$ gilt.

28.05.2011, 17:10

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} [w] = [0] \end{eqnarray*}$ im Faktorraum genau dann wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} w \in W, w \in U \end{eqnarray*}$ , also wenn w in U und in W liegt und da ja wegen dem Komplement gilt:

$\begin{eqnarray*} U \cap W = \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ liegt nur die 0 in beiden drin.

daher kann ja nur aus $\begin{eqnarray*} w = 0 \end{eqnarray*}$ durch f dann $\begin{eqnarray*} [w] = [0] \end{eqnarray*}$ werden...

oder?

ist dann die Injektivität schon bewiesen? Oder muss ich jetzt noch zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \forall w \neq 0 \in W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \neq [0] \end{eqnarray*}$

denn eigentlich wäre doch mit dem Obigen schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} ker(f) = 0 \Rightarrow injektiv \end{eqnarray*}$ erfüllt ist...

Wie immer vielen Dank für deine Tipps

28.05.2011, 18:52

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

Original von steviehawk
Ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} [w] = [0] \end{eqnarray*}$ im Faktorraum genau dann wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} w \in W, w \in U \end{eqnarray*}$ .

Etwas ungenau formuliert.

Letztlich gilt $\begin{eqnarray*} [w]=[0] \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} w\in U \end{eqnarray*}$ ist.
Und dadurch, dass $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ gewählt wurde, folgt dann $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$

Damit gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} [w]\neq [0] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\neq w\in W \end{eqnarray*}$ und die Injektivität folgt.

28.05.2011, 21:01

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
ja so in etwa habe ich es gemeint smile

smile

Nun zur Surjektivität:

hier muss ich ja zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} \forall [w] \in V/U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ stimmts?

Folgendes soll mir helfen:

Jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ kann durch eine LK als $\begin{eqnarray*} v = u + w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u \in U, w \in W \end{eqnarray*}$ dargestellt werden.

der Faktorraum sieht ja eigentlich so aus: $\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V\right\} \end{eqnarray*}$ und da ja $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ gilt, gilt auch $\begin{eqnarray*} [w] \in V/U \end{eqnarray*}$

nun mit der Darstellung von v durch u und w!

Da ja $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ ist, kann ich mein w auch so darstellen: $\begin{eqnarray*} w = u + w \end{eqnarray*}$ dann kann ich ja einfach sagen, dass es mein geeignetes u = 0 ist. Also finde ich ja für alle $\begin{eqnarray*} [w] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ so dass f(w) = [w] ist.

irgendwie kapiere ich das nicht so richtig, das ist doch bestimmt falsch, aber vielleicht ist ja was davon brauch bar traurig

traurig

Also: $\begin{eqnarray*} \forall [w] \in V/U \end{eqnarray*}$ gibt es die Darstellung: [w] = [w + u] mit u = 0 gilt dann [w] = [w]

28.05.2011, 23:21

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

Da ja $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ ist, kann ich mein w auch so darstellen: $\begin{eqnarray*} w = u + w \end{eqnarray*}$

Das ist blanker Unsinn!
Du musst Dir echt Gedanken über Deine Bezeichnungen machen. Das w auf der linken und auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens haben rein gar nichts miteinander zu tun und sollten deshalb auch nicht gleich bezeichnet werden.
Klar, wenn $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ ist, so ist diese Darstellung $\begin{eqnarray*} w=0+w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ , aber Du gehst ja hier von einem beliebigen Vektor aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aus und nur weil Du ihn $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ genannt hast, liegt er noch lange nicht in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

hier muss ich ja zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} \forall [w] \in V/U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ stimmts?

Hier gilt das gleiche.
unglücklich

unglücklich

Wenn Du Dir ein beliebiges Element des Faktorraums nimmst, so hat das die Gestalt $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ .
Dieses $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ lässt sich zerlegen in $\begin{eqnarray*} v=w+u \end{eqnarray*}$ für passende $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ .
Versuche nun damit ein Urbild für $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ zu konstruieren.

PS:
$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ sind keine Abkürzungen, sondern Symbole mit einer ganz speziellen Bedeutung. In einem normalen deutschen Satz haben sie nichts zu suchen. Du schreibst ja auch nicht:
Schau $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \colon \end{eqnarray*}$ das Fernrohr, dann wird alles $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ .
sondern:
Schau mal durch das Fernrohr, dann wird alles größer.

30.05.2011, 15:33

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Okay ich werde versuchen mir etwas mehr mühe zu geben:

Also ein Element des Faktorraums $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ hat die Form: $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$

der Faktorraum selber sieht ja so aus: $\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V \right\} \end{eqnarray*}$

man kann ja alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ durch geeignete $\begin{eqnarray*} u \in U, w \in W \end{eqnarray*}$ darstellen

um die Surjektivität zu beweisen, muss ich ja in diesem Fall zeigen, dass es für alle meine $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ ein Urbild gibt, was nun aber in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen muss...

also $\begin{eqnarray*} f^{-1}([v]) \in W \end{eqnarray*}$

Nun:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}([v]) = f^{-1}([u+w]) = f^{-1}([u]+[w]) = f^{-1}([u] + f^{-1}([w]) = 0 + f^{-1}([w]) = f^{-1}([w]) = w \in W \end{eqnarray*}$

also gibt es für alle meine $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ gilt und so ist f surjektiv!

Hoffe mal disesmal ist es weniger schlimm Hammer

Hammer

30.05.2011, 18:46

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

Nun:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}([v]) = f^{-1}([u+w]) = f^{-1}([u]+[w]) = f^{-1}([u] + f^{-1}([w]) = 0 + f^{-1}([w]) = f^{-1}([w]) = w \in W \end{eqnarray*}$

also gibt es für alle meine $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ gilt und so ist f surjektiv!

Die richtige Grundidee lässt sich erkennen, aber formal ist das wieder falsch.
Zuerst mal solltest Du unbedingt lernen, zwischen Urbild und Umkehrfunktion zu unterscheiden. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist (noch) nicht bijektiv und somit existiert keine Umkehrfunktion.
Das Urbild von $\begin{eqnarray*} [v] \end{eqnarray*}$ existiert zwar, aber ist eben eine Menge und damit wird die obige Argumentation schon schwerer. Insbesondere wirst Du keine Linearität nutzen können.

Du kannst den Weg aber quasi mal rückwärts gehen. Lass doch mal das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf das $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ los. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.05.2011, 19:04

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
versteh ich nicht ganz, also wenn ich mein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf mein $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ loslasse, dann bekomme ich doch einfach $\begin{eqnarray*} f(w) = [w] \end{eqnarray*}$ oder?

30.05.2011, 19:30

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Stimmt. Aber Du willst ja $\begin{eqnarray*} f(w)=[v] \end{eqnarray*}$ haben. Was musst Du also noch zeigen?

30.05.2011, 19:35

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Dass $\begin{eqnarray*} [v] = [w] \end{eqnarray*}$ ist?

30.05.2011, 19:37

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Ja.
Dann mal los. smile

smile

30.05.2011, 19:41

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
grob etwa so:

$\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [v] = [u+w] = [u] + [w] = [w] \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} [u] = [0] \end{eqnarray*}$ impliziert

30.05.2011, 21:11

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Ja, so. Freude

Freude

Geh alles in Ruhe noch mal durch, dann siehst Du, dass die Surjektivität letztlich fast ein Einzeiler ist.

Gruß,
Reksilat.

30.05.2011, 22:42

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
super vielen Danke für deine Geduld smile

smile

Sein nun $\begin{eqnarray*} V = U \oplus W \end{eqnarray*}$ , dann ist wegen dem ersten Aufgabenteil $\begin{eqnarray*} codim(U) = dim(W) = dim(V/U) \end{eqnarray*}$ und damit wohldefiniert.

Ich muss jetzt noch zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} f \in End(V) \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f surjektiv \Leftrightarrow codim(im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$

Kann ich hier mit der Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(U) + dim(W) \end{eqnarray*}$ bzw, mit $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(ker(f)) + dim(im(f)) \end{eqnarray*}$ argumentieren?

Das wäre sehr schön und denke ich garnicht so schwer smile

smile

30.05.2011, 23:21

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Die Dimensionsformel gilt nur für endlichdimensionale VR. Ist das hier vorausgesetzt? Ich denke mal nicht, da man sonst statt "surjektiv" auch gleich "bijektiv" hätte schreiben können.

Wie ist die Codimension denn genau definiert?

31.05.2011, 08:50

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Hallo Reksilat, also in der Aufgabe steht ja, dass V ein nicht notwendig enldichdimensionaler K - Vektorraum ist.

Wie sieht es dann mit der Dim.formel aus?

Für die Kodimension habe ich keine wirkliche Definition gefunden. Nur dass die Kodimension die Dimension des Faktorraums angibt! Und dass die Dimension eines Unterraums + die Dimension des Faktorraums (bzw. Komplement von U) die Dimension des Vektorraums ergibt.

Im endlichdimensionalen Raum mit $\begin{eqnarray*} f: V \to V \end{eqnarray*}$ wäre ja der Kern das Komplement zum Bild oder?

Wie arbeite ich mit Kern und Bild im $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dimensionalen VR?

gruß

31.05.2011, 09:49

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Nein, der Kern ist kein Komplement zum Bild. Betrachte zum Beispiel die Abildung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Da sind Kern und Bild gleich.

Die Dimensionsformel ist nur im endlichdimensionalen Fall hilfreich, da sonst mehrere Einträge $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sind und man nicht mehr sinnvoll rechnen kann. Hier wird sie Dir jedenfalls nicht weiterhelfen. Ist aber auch gar nicht nötig.

Die Codimension als Dimension des Faktorraums zu lesen ist doch eine Definition.
Also: Sei $\begin{eqnarray*} {\rm codim}(im(f))=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \dim (V/im(f))=0 \end{eqnarray*}$
Was kannst Du daraus folgern?

31.05.2011, 12:45

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Also als erstes schließe ich aus $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f)) = 0) \end{eqnarray*}$ dass der Faktorraum der Nullvektorraum ist!

31.05.2011, 13:16

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Okay also ich versuche es mal:

$\begin{eqnarray*} f surjektiv \to codim(im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$ :

ist f surjektiv, dann ist $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$
es gilt: $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) + dim(V/im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$

da nun aber $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f))=0 \end{eqnarray*}$ sein.

da nun wiederum gilt: $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f)) = codim(im(f)) \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} codim(im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} codim(im(f)) = 0 \to f surjektiv \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} codim(im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist wegen $\begin{eqnarray*} codim(im(f)) = dim(V/im(f)) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(V/im(f)) + dim(im(f)) \end{eqnarray*}$ muss dann aber $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$ sein,

ist wiederum $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$ ist f surjektiv!

Passt das so? Oder gilt diese Dimensionsforml: $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(V/U) + dim(U) \end{eqnarray*}$ auch nur für endlichdimensionale VR?

31.05.2011, 18:30

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

ist f surjektiv, dann ist $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$
es gilt: $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) + dim(V/im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$

da nun aber $\begin{eqnarray*} dim(im(f)) = dim(V) \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f))=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Falsch. Auch mit diesem Dimensionssatz wirst Du nichts anfangen können.
Aus $\begin{eqnarray*} \infty=\infty+a \end{eqnarray*}$ kannst Du eben nicht $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ folgern.

Aus $\begin{eqnarray*} \dim(V/U)=0 \end{eqnarray*}$ folgt immer schon direkt $\begin{eqnarray*} V=U \end{eqnarray*}$ . Das ergibt sich schon aus der Definition des Faktorraums.
Schau Dir das lieber an.

Gruß,
Reksilat.

31.05.2011, 19:15

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} codim(im(f)) = dim(V/im(f)) = 0 \Rightarrow V = im(f) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f: V \to V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} im(f) = V \end{eqnarray*}$ ist f surjektiv

ist $\begin{eqnarray*} f surjektiv \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} im(f) = V \end{eqnarray*}$ sein, dann muss wiederrum $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f)) = 0 \end{eqnarray*}$ sein und dann ist wegen $\begin{eqnarray*} dim(V/im(f)) = codim(im(f)) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} codim(im(f))= 0 \end{eqnarray*}$

Warum geht aus $\begin{eqnarray*} dim(V/U) = 0 \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} U=V \end{eqnarray*}$ hervor?

Der Faktorraum ist ja: $\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn seine Dimensions Null ist, dann gibt es geometrisch keine Vektor in V mit dem ich U verschieben könnte, genau deswegen weil U = V ist, oder?

31.05.2011, 19:19

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension

Zitat:

Der Faktorraum ist ja: $\begin{eqnarray*} V/U = \left\{ [v] | v \in V\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn seine Dimensions Null ist, dann gibt es geometrisch keine Vektor in V mit dem ich U verschieben könnte, genau deswegen weil U = V ist, oder?

Ja.
Oder formaler: $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ enthält nur die Null, d.h. $\begin{eqnarray*} [v]=[0] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ .

31.05.2011, 19:27

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Hat der Beweis denn so gepasst? Für die Kodimension und die Surjektivität?

31.05.2011, 22:43

Reksilat

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
ja

01.06.2011, 00:30

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit der Kodimension
Super dann vielen Dank für deine ganze Hilfe!!! Ich geh alles nochmal durch!!!

Du hast es echt drauf Freude

Freude

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