Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

27.05.2011, 12:13

schweizerkäse

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Meine Frage:
Ich habe hier eine Aufgabe zur Unabhängigkeit von Zufallsvariablen:

Eine Münze werde zweimal geworfen. Man betrachte folgenden Zufallsvariablen:

X gibt an, wie oft "Wappen" auftritt,
Y gibt an, wie oft "Zahl" auftritt,

V = 0, falls beim ersten Wurf "Wappen" auftritt,
V = 1, falls beim ersten Wurf "Zahl" auftritt,

W = |X-Y|.

Sind X,V bzw. X,W bzw. V,W unabhängig?

Meine Ideen:
Also ich weiß, was ich untersuchen muss, nämlich ob

$\begin{eqnarray*} P(X) \cdot P(V) = P(X \cap V) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} P(X) \cdot P(W) = P(X \cap W) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(V) \cdot P(W) = P(V \cap W) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das jeweils gilt, sind die Zufallsvariablen unabhängig.

Jetzt müsste ich ja quasi nur noch einsetzen, da habe ich allerdings ein Problem mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Also es gibt ja vier Möglichkeiten zu werfen oder?
WW, ZZ, WZ, ZW (wobei W für Wappen und Z für Zahl stehen soll)

Ich würde jetzt sagen, dass P(X)=0.75 ist, weil in drei von den insgesamt vier Möglichkeiten "Wappen" vorkommt
Aber was ist jetzt P(V)? Denn eigentlich ist ja P(V)=1, P(V=0)= 0.5 und P(V=1)= 0.5 oder verstehe ich das falsch?

Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} P(X) \cdot P(V) = 0.75 \cdot 1 = 0.75<br /> und P(X \cap V) = 0.5 \end{eqnarray*}$
weil ja nur in zwei der vier Kombinationsmöglichkeiten zuerst "Wappen" auftritt.
Oder muss ich dann P(V=0)= 0.5 nehmen, sodass P(X)P(V)= 0.75 * 0.5 = 0.375? Dann ergibt sich jeweils, dass X und V nicht unabhängig sind.

27.05.2011, 13:43

dinzeoo

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Zitat:

Original von schweizerkäse
Also ich weiß, was ich untersuchen muss, nämlich ob

$\begin{eqnarray*} P(X) \cdot P(V) = P(X \cap V) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} P(X) \cdot P(W) = P(X \cap W) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(V) \cdot P(W) = P(V \cap W) \end{eqnarray*}$ .

das ist nicht gerade schön formuliert und sowas wie P(X) gibt es eigentlich auch nicht.
ein fall den du z.b. testen musst ist:

$\begin{eqnarray*} P(X=0,V=0)=P(X=0)P(V=0) \end{eqnarray*}$

und das für alle kombinationen die möglich sind. überleg dir vll erstmal welche werte deine zufallsvariablen annehmen können.
X kann z.b. die werte 0,1 und 2 annehmen.

27.05.2011, 15:53

schweizerkäse

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
meinst du ich muss dann alle 6 kombinationen testen ?
denn X kann ja die Werte 0,1 und 2 und V die Werte 0 und 1 annehmen?

27.05.2011, 15:56

dinzeoo

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jepp, was besseres fällt mir gerade nicht ein

27.05.2011, 16:04

schweizerkäse

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also wenn das für alle gilt, dann sind sie unabhängig und sobald es für eine nicht gilt kann ich aufhören und es ist abhängig oder ?

27.05.2011, 16:05

dinzeoo

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richtig

27.05.2011, 16:34

schweizerkäse

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aber wenn ich jetzt anfange mit

P(X=0) * P(V=0) = 0.25 * 0.5 = 0.125
und P(X=1) * P(V=0) = 0.5 * 0.5 = 0.25

macht das nichts, dass diese beiden Wahrscheinlichkeiten nicht übereinstimmen oder ?

Es muss nur jeweils

$\begin{eqnarray*} P(X=0) * P(V=0) = P(X=0 \cap V=0) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} P(X=1) * P(V=0) = P(X=1 \cap V=0) \end{eqnarray*}$

gelten oder ?

Also

$\begin{eqnarray*} P(X=0 \cap V=0) = 0 \neq 0.125 = P(X=0) * P(V=0) \end{eqnarray*}$

denn wenn kein mal Wappen geworfen wird, kann V nicht 0 sein, da das bedeuten würde, dass im ersten Wurf Wappen aufgetreten ist

und $\begin{eqnarray*} P(X=1 \cap V=0) = 0.25 = P(X=1) * P(V=0) \end{eqnarray*}$

und damit sind X und V nicht unabhängig oder ?

27.05.2011, 17:30

dinzeoo

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Zitat:

Original von schweizerkäse
aber wenn ich jetzt anfange mit

P(X=0) * P(V=0) = 0.25 * 0.5 = 0.125
und P(X=1) * P(V=0) = 0.5 * 0.5 = 0.25

macht das nichts, dass diese beiden Wahrscheinlichkeiten nicht übereinstimmen oder ?

Es muss nur jeweils

$\begin{eqnarray*} P(X=0) * P(V=0) = P(X=0 \cap V=0) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} P(X=1) * P(V=0) = P(X=1 \cap V=0) \end{eqnarray*}$

gelten oder ?

richtig. du müsstest natürlich auch noch X=1 V=1 usw testen, aber da du ja schon die abhängigkeit gezeigt hast kannst dir den rest sparen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X=0 \cap V=0) = 0 \neq 0.125 = P(X=0) * P(V=0) \end{eqnarray*}$

denn wenn kein mal Wappen geworfen wird, kann V nicht 0 sein, da das bedeuten würde, dass im ersten Wurf Wappen aufgetreten ist

auch richtig. formal könnte man es auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \{X=0\} \cap \{V=0\} =\emptyset \end{eqnarray*}$

und für die leere menge gilt natürlich

$\begin{eqnarray*} P(X=0,V=0)=P(\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$

den rest den du gerechnet hast hab ich mir nicht mehr angeschaut, aber das system hast ja verstanden, von daher denk ich mal das es richtig ist

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