Differential von Funktionen mehrerer Variablen

27.05.2011, 13:33

Necross

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Differential von Funktionen mehrerer Variablen

Bei den Übungsaufgaben bin ich auf folgendes gestoßen, wobei ich absoult nichts damit anfangen kann:

Mann bestimme das Differential auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definierten Funktionen; $\begin{eqnarray*} x=[x_1,x_2,x_3,....,x_n]^t \end{eqnarray*}$ :

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^tAx \end{eqnarray*}$ (A sei eine symmetrische Matrix)
b) $\begin{eqnarray*} f(x)=x_1+x_2^2+x_3^3+...+x_n^n \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^tAx+x^tBx \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^tB)^t \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} f(x)=(y-Ax)^t(y-Ax) \end{eqnarray*}$

Ich tu mir bei den mehrdimensionalen Funktionen echt schwer und bräuchte dringend Hilfe. Danke im Voraus!

27.05.2011, 16:33

Mazze

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Wo hängst denn ? Schon bei der bestimmung der partiellen Ableitungen ? Ansonsten solltest Du die Matrixausdrücke einfach in die entsprechenden Summendefinitionen umschreiben, dann wirds ziemlich einfach.

27.05.2011, 17:36

Necross

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Nein, also mit partiellen Ableitungen hab ich kein Problem, nur beim Rechnen mit Matritzen schon, da ich schiefsemestrig eingestiegen bin und deswegen Analysis vor linearer Algebra habe.

Bei b) könnte ich mir grad noch vorstellen:
$\begin{eqnarray*} D_x=\begin{pmatrix} 1 & 2x_2 & 3x_3^2 ... nx_n^{n-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei a) zB weiß ich grad noch dass x^t eine 1xn Matrix, x eine nx1 Matrix und A müsste dann eine nxn Matrix sein, und laut Angabe auch noch symetrisch. Und was mach ich jetzt damit?

27.05.2011, 18:31

Mazze

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Zitat:

Und was mach ich jetzt damit?

Wenn Du mal $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ ausrechnest , stellst Du fest das das eine Zahl herauskommt. Schreib doch einfach mal das Matrixprodukt $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ als Summe, also

$\begin{eqnarray*} x^TAx = \sum\sum \end{eqnarray*}$

dann kannste ganz leicht differenzieren.

27.05.2011, 20:30

necross

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Ok hab dann jz mal das rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ji}x_ix_j \end{eqnarray*}$
Und da A symetrisch ist, ist aij=aji, dann kann ich so umformen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{h=1}^na_{hh}x_h^2+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n a_{ji}x_ix_j \end{eqnarray*}$
Und wenn ich dann partiell ableite komm ich zu:
$\begin{eqnarray*} D_x=\begin{pmatrix} 2\sum\limits_{k=1}^na_{k1}x_k & 2\sum\limits_{k=1}^na_{k2}x_k &...& 2\sum\limits_{k=1}^na_{n1}x_k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig so?
Gibts da eine einfache Methode, weil so wie ich das gelöst habe, ists ziemlich aufwendig.

27.05.2011, 21:35

necross

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Und wenn ich es richtig verstanden habe ist das Differential von c):
$\begin{eqnarray*} D_x=\begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}b_{i1})x_i+\sum\limits_{j=1}^n(a_{1j}b_{1j})x_j & \sum\limits_{i=1}^n(a_{i2}b_{i2})x_i+\sum\limits_{j=1}^n(a_{2j}b_{2j})x_j &...&\sum\limits_{i=1}^n(a_{n1}b_{n1})x_i+\sum\limits_{j=1}^n(a_{nj}b_{nj})x_j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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28.05.2011, 09:01

necross

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Und bei d) bekomme ich B^-1 als Ergebnis

28.05.2011, 09:03

necross

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Ich mein natürlich B^t

28.05.2011, 09:50

Mazze

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Also ich hätte die Symmetrie erst am Ende verwendet (dann bekommt man nämlich das algemeinere Resultat) :

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x)}{\partial x_k} =\frac{1}{\partial x_k} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{ij}x_ix_j = \sum_{i=1, i \neq k}^n A_{ki}x_i + \sum_{i=1,i \neq k}^n A_{ik}x_i + 2A_{kk}x_k = \sum_{i=1}^n A_{ki}x_i + \sum_{i=1}^nA_{ik}x_i \end{eqnarray*}$

Dann stellt man nämlich fest :

$\begin{eqnarray*} D_x = (A + A^T)x \end{eqnarray*}$ und mit der Symmetrie von A bekommt man

$\begin{eqnarray*} D_x = 2Ax \end{eqnarray*}$

Sieht doch schon viel angenehmer aus oder? smile

smile

Deine Lösung zu d) ist richtig!

28.05.2011, 10:14

necross

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Hm, wär das Ergebnis nicht $\begin{eqnarray*} D_x=(2Ax)^t \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2011, 10:24

Mazze

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Naja, den Gradienten schreibt man ja meist als Zeilenvektor.

28.05.2011, 10:36

necross

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Eben, und 2Ax ist ja ein Spaltenvektor, A ist eine nxn Matrix, x ist (laut Angabe) eine nx1 Matrix, und Ax ist ja dann wieder eine nx1 Matrix, also ein Spaltenvektor.

28.05.2011, 10:38

Mazze

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Zitat:

Eben, und 2Ax ist ja ein Spaltenvektor

Nein, 2Ax ist ein Zeilenvektor.

Zitat:

und Ax ist ja dann wieder eine nx1 Matrix, also ein Spaltenvektor.

Eine n x 1 Matrix hat n Zeilen und 1 Spalte, da sprichst Du von einem Spaltenvektor?

28.05.2011, 10:44

necross

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Ich kenne die Definition so:
Eine Matrix mit 1 Spalte heißt Spaltenvektor
Eine Matrix mit 1 Zeile heißt Zeilenvektor

28.05.2011, 11:05

Mazze

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Naja, wir müssen uns mal einigen was wir hier verwenden. Gemäß deiner (üblichen) Definition, wäre $\begin{eqnarray*} 2Ax \end{eqnarray*}$ ein Spaltenvektor. Den Gradienten gibt man üblicherweise auch als Spaltenvektor an, daher ist hier nicht weiter zu tun.

28.05.2011, 11:22

necross

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Aha, ok.
Da in der Angabe nicht genau steht wie ich das Ergebnis angeben soll notier ich das ganze mal als Gradient (wo möglich) wenn die was anderes sehn wolln brauch ichs dann ja nur transponiern.

Die Ergebnisse würden dann so aussehn:
$\begin{eqnarray*} a)2Ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b)\begin{pmatrix} 1 \\ 2_x2 \\ ... \\na_n^{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c)(A+A^t+B+B^t)x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d) B^t \end{eqnarray*}$

e muss ich mir noch ansehn

28.05.2011, 12:56

necross

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und bei e) komm ich auf $\begin{eqnarray*} 2(y-Ax)^t*-A \end{eqnarray*}$ ; was eigentlich an die Kettenregel erinnert.

28.05.2011, 13:32

Mazze

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zu b) Ich denke du hast da nur Paar Tipfehelr drin oder?

zu e) Irgendwie hast Du da die Transponierten vertauscht :

$\begin{eqnarray*} -2A^T(y - Ax) \end{eqnarray*}$

sollte die Lösung sein.

P.S.: Falls es dich interessiert, schau mal bei Google unter "the matrix cookbook". Das ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen bezüglich Matrizen, wie etwa Ableitungen etc.

28.05.2011, 13:54

necross

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ja, bei b sollte der 2er noch tiefgestellt sein, aber sonst müsste es doch passen?

Hm, ich habs durch ausmultipliziern verglichen. Müsste eigtl stimmen. Aber ich glaub das is das selbe Problem wie vorher. Wenn ich mein Ergebnis trasponiere komm ich ja auf deines, gleich wie bei meinen Zeilenvektoren vorher die ich ja als Gradient (Spaltenvektor) darstelln sollte.

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