DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem

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27.05.2011, 17:10	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem Meine Frage: Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: 3y''+ 18y' =6-27y; y(0)=20/9; y'(0)=-5 Ich erhalte jedoch beim lösen der Unbekannten A & B für B 2=2 heraus. Die Frage ist, wie ich zu interpretieren habe und welches die weiteren Lösungsschritte sind? Meine Ideen: Mein Ansatz sieht wie folgt aus: 3y''+18y'+27y-6=0 $\begin{eqnarray} 3\lambda^{2}+18\lambda+27=0 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ =-3 y=yh + ys ys=6/27 = 2/9 yh=A $\begin{eqnarray} e^{-3x} \end{eqnarray}$ +Bx $\begin{eqnarray} e^{-3x} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} y=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x}+2/9 \end{eqnarray}$ --> y'=- $\begin{eqnarray} 3Ae^{-3x}+Be^{-3x}-3Bxe^{-3x} \end{eqnarray}$ 20/9=A+Bx+2/9 --> 2=A+Bx -5=-3A+B-3Bx A=1/3-Bx+5/3 -->2=(1/3-Bx+5/3)+Bx 2=2+Bx-Bx 2=2
27.05.2011, 19:17	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Um mal etwas Struktur in deinen Beitrag zu bringen: Deine Ausgangsgleichung lautet: $\begin{eqnarray} 3y''\,+\,18y'\,+\,27y\,=\,6\Leftrightarrow \,y''\,+\,6y'\,+\,9y\,=\,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)\,=\, \frac{20}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(0)\,=\, -5 \end{eqnarray}$ Du hast den Ansatz für die Homogene Lösung gemacht, dass $\begin{eqnarray} y = e^{ \,\lambda\cdot x} \end{eqnarray}$ Und dann eingesetzt und die homogene Lösung gefunden, die da lautet: $\begin{eqnarray} y_{hom}\,=\,A\cdot e^{ \,-3\cdot x}\,+\,B \cdot x \cdot e^{ \,-3\cdot x} \end{eqnarray}$ Soweit vollkommen richtig! Die Randbedingungen würde ich jetzt noch nicht einsetzen, erst wenn du das gesamte Problem gelöst hast! Jetzt kannst du deine komplette Lösung quasi "erraten". Wie bekommt man es denn jetzt hin, dass am Ende nicht 0 herauskommt (wie bei deiner homogenen Lösung) sondern eine 2 stehen bleibt? Als Tipp: Wenn man Konstanten Ableitet, dann werden diese in der Ableitung 0". Und was ist denn deine "2"? Das genau ist ja eine Konstante! Also wäre jetzt der Tipp: Baue deine homogene Lösung so geschickt um, dass wenn du sie in dein Ausgangsproblem einsetzt, eine 2 übrigbleibt! Wenn du noch weiter Tipps brauchst, oder gar nicht weiß, was ich meine, dann kannst du ja nochmal posten! Gruß Johnsen
28.05.2011, 16:11	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem Also, so wie ich das verstanden habe, muss ich yh mit +2 erweitern. Ich würde dann $\begin{eqnarray} y=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x}+20/9 \end{eqnarray}$ herausbekommen. Wenn ich das jetzt mit dem Anfangswertproblem bearbeite erhalte ich: für y(0): $\begin{eqnarray} 20/9=A+B+20/9 \end{eqnarray}$ und für f'(0): $\begin{eqnarray} -5=3A+B-3Bx \end{eqnarray}$ . Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} 0=A+B \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} A=-B \end{eqnarray}$ Wenn ich das in f'(0) einsetzte erhalte ich: $\begin{eqnarray} -5=-2B-3Bx \end{eqnarray}$ Nun habe ich nach x umgestellt und $\begin{eqnarray} x=5/(3B) -2/3 \end{eqnarray}$ herausbekommen. Wenn ich das nun wieder einsetzte erhalte ich: $\begin{eqnarray} -5=-2B-5+2 \end{eqnarray}$ Also für $\begin{eqnarray} B=1 \end{eqnarray}$ und damit für $\begin{eqnarray} 0=A+1 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} A=-1 \end{eqnarray}$ . ISt das soweit richtig?
28.05.2011, 16:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich würde es so nicht bezeichnen, aber es ist richtig. yh mit +2 erweitern. Eigentlich hast du vorher die DGL 0 gesetzt, also den partikulären Teil einfach mal weggelassen. Nun musst du zum homogenen Teil den partikulären finden. Dabei nimmst du wieder die Originaldgl (oder die Vereinfachung mit der Division von 3). Nun brauchst du für die partikuläre Lösung einen Ansatz. Hast du doch hoffentlich schon mal gemacht?! (Im Anfangspost steht sogar das richtige Ergebnis! ) Geht bei den Links ein Licht auf?: 1. Link 2. Link Das Einsetzen deiner Anfangswerte kommt gaaaaannnnz zum Schluss. Vergiss mal, dass du die gegeben hast!
28.05.2011, 17:06	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem Hmm, also mein Ansatz (so wie ich ihn in den Übungen gelernt habe) war immer folgender: für: $\begin{eqnarray} y''+ay'+by+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=yH+yS \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} yS=-c/b \end{eqnarray}$ (für b ungleich 0), $\begin{eqnarray} yS=(-c/a)x \end{eqnarray}$ (für a ungleich 0, b=0), $\begin{eqnarray} yS=(-c/2)x^{2} \end{eqnarray}$ (für a=b=0) und $\begin{eqnarray} yH=Ae^{\lambda1x}+Be^{\lambda2x} \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} \lambda1 \end{eqnarray}$ ungleich $\begin{eqnarray} \lambda2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} yH=Ae^{\lambda1x}+Bxe^{\lambda2x} \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} \lambda1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lambda2 \end{eqnarray}$ ) wobei $\begin{eqnarray} \lambda1 und \lambda2 \end{eqnarray}$ die Lösungen von $\begin{eqnarray} \lambda^{2}+a\lambda+b=0 \end{eqnarray}$ Nach diesem Ansatz habe ich jedoch für $\begin{eqnarray} yH=Ae^{-3x}+Bxe^{-3x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} yS=2/9 \end{eqnarray}$ . Ein anderer Ansatz ist mir so nicht bekannt!
28.05.2011, 17:12	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss gestehen, mir ist das deinige Verfahren in der Form nicht bekannt . Wenn ichs aber richtig nachvollziehe, so ist alles richtig. Das Ergebnis stimmt auch Wir haben also: $\begin{eqnarray} y\,=\,A\cdot e^{ \,-3\cdot x}\,+\,B \cdot x \cdot e^{ \,-3\cdot x}+\frac{2}{9} \end{eqnarray}$ Jetzt erst (!) kümmern wir uns um die Anfangsbedingungen. Du bist dran (Rein aus interesse, S steht für?)
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28.05.2011, 17:53	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem Ich glaub, jetzt hab ich's: $\begin{eqnarray} y=2e^{-3x}+xe^{-3x}+2/9 \end{eqnarray}$ yS steht für Störfunktion.
28.05.2011, 17:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah klar Ungewohnter Begriff für mich^^ Nun zur Aufgabe: Da hab ich was anneres. Kannst du mir mal zeigen, wie du da drauf kommst?
28.05.2011, 18:02	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2.Ordnung + Anfangswertproblem Also ich hab das so gerechnet: $\begin{eqnarray} y(0)=20/9 --> 20/9=A+B0+2/9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(0)=-5 --> -5=-3A+B-3B0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -5=-3(2)+B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=1 \end{eqnarray*}$
28.05.2011, 18:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry...mein Fehler. Ich hatte in der Ableitung noch das 2/9 drin Also stimmen meine Ergebnisse nun mit deinen überein
28.05.2011, 18:13	phil448	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, vielen Dank für die gute und schnell Hilfe. Bin dann bei zukünftigen Aufgaben hoffentlich etwas sicherer.
28.05.2011, 18:40	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne

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