Äquivalenzrelation (Homotopie)

27.05.2011, 20:00

Gast11022013

Äquivalenzrelation (Homotopie)

Meine Frage:
Hallo,

ich soll zeigen, dass "homotop" sein eine Äquivalenzrelation ist.

Meine Ideen:
1. Reflexivität:

Sei $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to X \end{eqnarray*}$ Weg mit Anfangspunkt x und Endpunkt y.

Betrachte H(x,t)=f(t).

Wegen der Stetigkeit denke ich mal, dass ein Weg wie f wohl stetig ist. Also auch H.

Das ist m.E. schon die Reflexivität.

2. Symmetrie

Seien $\begin{eqnarray*} f,g:[0,1]\to X \end{eqnarray*}$ Wege mit gemeinsamem Anfangspunkt x und gemeinsamem Endpunkt y.

Sei H Homotopie zwischen f und g.

Und jetzt muss man eine Homotopie G zwischen g und f finden.

Irgendwie finde ich aber keine...

Vielleicht:

G(x,t)=H(x+1,t) für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 0,5 \end{eqnarray*}$
G(x,t)=H(1-x,t) für $\begin{eqnarray*} 0,5\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Das wäre meine einzige Idee.

27.05.2011, 20:31

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation (Homotopie)

Zitat:

Original von Dennis2010
Betrachte H(x,t)=f(t).

Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Dennis2010
G(x,t)=H(x+1,t) für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 0,5 \end{eqnarray*}$
G(x,t)=H(1-x,t) für $\begin{eqnarray*} 0,5\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Du hattest schon einen guten Gedanken, aber ganz so funktioniert es noch nicht. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} H(1.5,t) \end{eqnarray*}$ doch gar nicht definiert.
Du hast $\begin{eqnarray*} H(0,t) = f(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H(1,t) = g(t) \end{eqnarray*}$ gegeben. Wie kannst Du nun bewerkstelligen, dass die "Zeit sich umkehrt"?

Noch eine Anmerkung zur Notation: Anscheinen notiert Ihr allgemein Homotopien zwischen stetigen Abbildungen $\begin{eqnarray*} X \to Y \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} X \times [0,1] \to Y \end{eqnarray*}$ . In unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} X = [0,1] \end{eqnarray*}$ und die Reihenfolge der Koordinaten egal, aber normalerweise bedeutet $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeitkoordinate, welche die "Einzelbilder" der Homotopie parametrisiert, d.h. es ist umgekehrt zu dem, wie Du das schreibst.

27.05.2011, 21:24

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation (Homotopie)
Also, ich habe:

$\begin{eqnarray*} H(0,t)=f(t), H(1,t)=g(t) \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte haben:

$\begin{eqnarray*} G(0,t)=g(t), G(1,t)=f(t) \end{eqnarray*}$ .

Setzt man jetzt einfach:

$\begin{eqnarray*} G(0,t)=H(1,t), G(1,t)=H(0,t) \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2011, 00:07

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Werte muss man Ende haben, aber Werte an zwei Punkte zu definieren gibt Dir hier noch keine stetige Funktion.

28.05.2011, 00:23

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war natürlich viel zu kurz gedacht.

Stattdessen:

Sei f homotop zu g mittels Homotopie H.

Definiere Homotopie $\begin{eqnarray*} G:[0,1]\times [0,1]\to U, (x,t)\mapsto H(x,1-t) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist g homotop zu f mittels Homotopie G.

Also ist die Symmetrie gezeigt.

28.05.2011, 00:27

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Du hast jetzt wohl zur von mir oben erwähnten Konvention gewechselt?

28.05.2011, 11:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, erscheint mir sinnvoller.

28.05.2011, 11:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass ich auch zeigen soll, dass "frei homotop sein" eine Äquivalenzrelation ist.

Muss ich da alles neu machen oder habe ich das jetzt "automatisch" mitgezeigt?

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelation (Homotopie)

Verwandte Themen