komplexe Zahlen in der Polarform

11.12.2006, 19:59

wetterfrosch06

komplexe Zahlen in der Polarform

Servus, hoffe ihr habt ahnung wie man komplexe Zahlen in der Polarform $\begin{eqnarray*} z = \mid z \mid e^{i \varphi} \end{eqnarray*}$ darstellt.

ich muss dat zum beispiel für so ne aufgabe machen:
z = (-2 +2i)^2

wäre cool wenn ihr mir sagen könntet was ich genau zutun habe

thx

11.12.2006, 20:20

Lazarus

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Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl ?

11.12.2006, 20:40

wetterfrosch06

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$\begin{eqnarray*} z = a + bi \end{eqnarray*}$

nur, diese zum Quadrat irretiert mich total...

11.12.2006, 20:44

Calvin

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Schreibe zuerst (-2+2i) in Polarform. Quadriere erst danach.

11.12.2006, 20:53

wetterfrosch06

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boa ich krieg es nicht hin, hab die lösung aber ich krieg dat nicht hin, ich kann doch da a und b ablesne oder wie läuft dat ?

11.12.2006, 20:59

wetterfrosch06

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ich berechne den betrag von z doch so oder lieg ich da falsch:
$\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

???

11.12.2006, 21:43

Calvin

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Ja, so berechnest du den Betrag.

Wie weiter oben schon gesagt: lass das Quadrat erstmal weg. Schreibe $\begin{eqnarray*} w=-2+2i \end{eqnarray*}$ in Polarform. Wie ist also $\begin{eqnarray*} |w| \end{eqnarray*}$ ? Und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Winkel des Zeigers gegenüber der positiven reellen Achse. Wie findest du den raus? Eine Zeichnung der komplexen Ebene ist hier hilfreich.

11.12.2006, 21:56

wetterfrosch06

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also wenn ich:
$\begin{eqnarray*} w = -2 + 2i \end{eqnarray*}$

komm ich ja an den betrag von z so:
$\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{-2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

nur und jetzt also an phi komm ich doch so:

$\begin{eqnarray*} tan \varphi = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

mit der beschränkung x > 0
bzw. wenn x = 0 wäre, und y >0 dann ist phi gleich +pi/2
und wenn y < 0 wäre dann ist phi gleich -pi/2

is das so korrekt ?

12.12.2006, 09:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von wetterfrosch06
komm ich ja an den betrag von z so:
$\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{-2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Besser: $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von wetterfrosch06
$\begin{eqnarray*} tan \varphi = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

mit der beschränkung x > 0
bzw. wenn x = 0 wäre, und y >0 dann ist phi gleich +pi/2
und wenn y < 0 wäre dann ist phi gleich -pi/2

is das so korrekt ?

Im Prinzip ja, wobei ich da kein x und kein y sehe.
Im übrigen braucht man in diesem Fall die Formel nicht. Wie Calvin schon bemerkte, braucht man nur den Punkt ins Koordinatensystem zeichnen, dann sollte man den Winkel erkennen.

12.12.2006, 10:31

wetterfrosch06

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ja jut... stimmt; habe mich verschrieben, meinte a und b Augenzwinkern

12.12.2006, 10:50

wetterfrosch06

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aber was mach ich denn jetzt mit dem quadrat, muss ich das nicht vorher auflösen ?
weil die aufgabe war ja: $\begin{eqnarray*} z = (-2 +2i)^2 \end{eqnarray*}$

12.12.2006, 11:26

Lazarus

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Wenn du willst kannst dus auch auflösen.
Was bekommst du denn da raus ?

12.12.2006, 11:50

wetterfrosch06

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$\begin{eqnarray*} z = 0 - 8i \end{eqnarray*}$
bekomme ich da raus.

Sprich für $\begin{eqnarray*} \mid z \mid = 8 \end{eqnarray*}$ wäre auch schonma mit der lösung vertretbar, aber is dat so richtig. und wie könnte ich denn ohne zu zeichen jetzt phi errechnen,

also über $\begin{eqnarray*} tan \varphi = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

weil die lösung für die aufgabe habe ich, nur da komm ich nicht dran, denn die wäre:
$\begin{eqnarray*} z = 8 e^{i3 \pi / 2} \end{eqnarray*}$

12.12.2006, 12:38

Lazarus

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Überleg dir ob die Zahl z auf einer winkelhalbierenden oder einer Achse liegt.
Dann kommt man sehr leicht auf den Winkel

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