Nilpotente Elemente im komm. Ring |
27.05.2011, 22:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nilpotente Elemente im komm. Ring Okay, die a) ist klar, lasse ich jetzt doch mal weg. Bei der b) hatte ich überlegt, mir ein aus herzunehmen, dann ist ja und da ein Primideal ist, muss auch sein, denn dieses kann ich ja in zerlegen und einer der Faktoren muss ja in liegen. Bei der c) hänge ich aber. Nilpotenz einer ganzen Klasse bedeutet ja, dass es ein geben muss, so dass für jedes gerade ist. Zwei Elemente sind ja äquivalent modulo I, wenn ist, oder? Da hatte ich jetzt versucht, den binomischen Lehrsatz auf loszulassen, aber das schien mir nicht zielführend. Wie komme ich auf x=y=0? Jemand einen Tipp? |
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28.05.2011, 00:05 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Überlegung zu (b) ist korrekt. Betrachte bei (c) ein . Was bedeutet Nilpotenz für das Ringelement ? |
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28.05.2011, 00:21 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde sagen . |
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28.05.2011, 00:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieses ist hier ein bisschen zu weit hergeholt. Wende mal ganz mechanisch die Definition von Nilpotenz auf an. |
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28.05.2011, 00:41 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm... dabei dachte ich, dass ich genau das nun gerade eigentlich gemacht hätte. Wenn alle Elemente in diesem Ringelement nilpotent sind, muss ja sein. Da ich über x aber ja zunächst nichts weiß, hilft mir das wohl auch nicht. Tut mir leid, ich fürchte, ich hänge mal wieder... Edit: Obwohl... da ja auch x in I liegt, ist das wertlos... |
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28.05.2011, 00:50 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Element heißt nilpotent, wenn es ein gibt mit . Ist also nilpotent, dann gibt es ein mit . Wie kann man dies noch schreiben? |
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28.05.2011, 01:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum denn nun =I ? Jetzt komme ich gar nicht mehr mit. |
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28.05.2011, 01:34 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist das Nullelement im Ring . |
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28.05.2011, 01:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja, genau. Also gut, es ist spät, ich werde mir das morgen nochmal in Ruhe ansehen und mich die Tage wieder melden. Danke schon mal bis hierhin und gute Nacht. |
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28.05.2011, 09:44 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, ich komme hier irgendwie immer noch nicht weiter. Wenn nun (x+I) nilpotent ist, dann ist also auch x^n in I und also auch schon x in I. Dann ist doch auch x+I=I, oder? |
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28.05.2011, 09:55 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, damit hast Du es schon. Die Aussage folgt also daraus, dass "Wurzeln" nilpotenter Elemente wiederum nilpotent sind. |
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28.05.2011, 09:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, natürlich... ich hatte jetzt gar nicht gesehen, dass das die Lösung ist. *patsch*. Also sind nun ja alle x in [x] äquivalent 0 modulo I. Mehr brauchte ich ja gar nicht. Oh man, da stand ich ja echt auf der Leitung. Danke dir. |
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28.05.2011, 10:01 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier solltest Du lieber schreiben, dass alle äquivalent zu sind, aber ansonsten stimmt es, wie gesagt. |
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