Nilpotente Elemente im komm. Ring

Neue Frage »

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Elemente im komm. Ring








Okay, die a) ist klar, lasse ich jetzt doch mal weg. Bei der b) hatte ich überlegt, mir ein aus herzunehmen, dann ist ja und da ein Primideal ist, muss auch sein, denn dieses kann ich ja in zerlegen und einer der Faktoren muss ja in liegen.

Bei der c) hänge ich aber. Nilpotenz einer ganzen Klasse bedeutet ja, dass es ein geben muss, so dass für jedes gerade ist. Zwei Elemente sind ja äquivalent modulo I, wenn ist, oder? Da hatte ich jetzt versucht, den binomischen Lehrsatz auf loszulassen, aber das schien mir nicht zielführend. Wie komme ich auf x=y=0?

Jemand einen Tipp?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegung zu (b) ist korrekt.

Betrachte bei (c) ein . Was bedeutet Nilpotenz für das Ringelement ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses ist hier ein bisschen zu weit hergeholt. Wende mal ganz mechanisch die Definition von Nilpotenz auf an.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wende mal ganz mechanisch die Definition von Nilpotenz auf an.

Hmm... dabei dachte ich, dass ich genau das nun gerade eigentlich gemacht hätte. verwirrt

Wenn alle Elemente in diesem Ringelement nilpotent sind, muss ja sein. Da ich über x aber ja zunächst nichts weiß, hilft mir das wohl auch nicht. Tut mir leid, ich fürchte, ich hänge mal wieder...

Edit: Obwohl... da ja auch x in I liegt, ist das wertlos...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Element heißt nilpotent, wenn es ein gibt mit .

Ist also nilpotent, dann gibt es ein mit . Wie kann man dies noch schreiben?
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
dann gibt es ein mit .

Warum denn nun =I ? Jetzt komme ich gar nicht mehr mit.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist das Nullelement im Ring .
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, genau. Hammer Also gut, es ist spät, ich werde mir das morgen nochmal in Ruhe ansehen und mich die Tage wieder melden.

Danke schon mal bis hierhin und gute Nacht. Wink
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ist also nilpotent, dann gibt es ein mit . Wie kann man dies noch schreiben?

Also, ich komme hier irgendwie immer noch nicht weiter. Wenn nun (x+I) nilpotent ist, dann ist also auch x^n in I und also auch schon x in I. Dann ist doch auch x+I=I, oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, damit hast Du es schon. smile Die Aussage folgt also daraus, dass "Wurzeln" nilpotenter Elemente wiederum nilpotent sind.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, natürlich... ich hatte jetzt gar nicht gesehen, dass das die Lösung ist. *patsch*. Also sind nun ja alle x in [x] äquivalent 0 modulo I. Mehr brauchte ich ja gar nicht. Oh man, da stand ich ja echt auf der Leitung.

Danke dir. Wink
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Also sind nun ja alle x in [x] äquivalent 0 modulo I.

Hier solltest Du lieber schreiben, dass alle äquivalent zu sind, aber ansonsten stimmt es, wie gesagt. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »