Beweisen, dass Folge Nullfolge ist

28.05.2011, 04:09

carstenj

Beweisen, dass Folge Nullfolge ist

Hallo,

ich soll beweisen, dass eine Folge eine Nullfolge ist. Aber irgendwie steh ich mal wieder auf dem Schlauch:

Sei a_n eine reelle Folge, und sei a_n != 0 für alle n E N. Angenommen, es gibt ein q E IR mit 0 < q < 1 und ein N E IN, sodass | a_n+1 / a_n | < q für alle n > N gilt.

Beweisen Sie, dass (a_n) eine Nullfolge ist.

Wie gehe ich da denn vor?

Danke und Gruß,
Carsten

28.05.2011, 09:08

BarneyG.

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Für ein beliebiges aber festes n0 > N hat man doch

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+1}| < |a_{n0}| * q \end{eqnarray*}$

Daraus folgt sofort für alle m > 0

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m}| < |a_{n0}| * q^m \end{eqnarray*}$

Na, und jetzt muss man das doch nur noch argumentativ richtig umsetzen ...

29.05.2011, 02:38

carstenj

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Hi,

danke erstmal für die Antwort, aber so ganz macht es noch nicht klick. Kannst du noch etwas mehr dazu sagen?

Wieso ist $\begin{eqnarray*} |a_{n0+m}| < |a_{n0}| * q^m \end{eqnarray*}$ ? Ist mir leider noch nicht ganz klar.

29.05.2011, 10:01

BarneyG.

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Nach Voraussetzung ist doch für n0 > N

(1) $\begin{eqnarray*} |a_{n0+1}| < |a_{n0}| * q \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} |a_{n0+2}| < |a_{n0+1}| * q \end{eqnarray*}$

Und wenn du (1) in (2) einsetzt, erhältst du

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+2}| < |a_{n0}| * q^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das oft genug machst, erhältst du die behauptete Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m}| < |a_{n0}| * q^m \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man diesen trivialen Sachverhalt auch per Induktion beweisen ... wenn es man es unbedingt ganz hübsch und ordentlich machen will. Mir wäre das aber zu langweilig ... Big Laugh

29.05.2011, 23:43

carstenj

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Hi,

Zitat:

Natürlich kann man diesen trivialen Sachverhalt auch per Induktion beweisen .

naja, trivial ist immer Ansichtssache. Da ich wirklich ein Mathe-DAU bin, was ich im Gegensatz zu manch anderen Dinge aber auch tatsächlich beweisen kann, reicht mir das leider noch nicht.

Vermutlich steht die Lösung schon da, aber mir ist immer noch nicht ganz klar, wieso das als BEWEIS dient?

Zitat:

Wenn du das oft genug machst, erhältst du die behauptete Ungleichung:

Heisst das, ich muss jetzt einfach ausprobieren und Zahlen einsetzen? Wäre das ein Beweis, dass die Folge gegen Null konvergiert?

30.05.2011, 00:04

BarneyG.

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Au Mann, hier ist das Forum für Hochschulmathematik ... da solltest du schon wissen, dass man einen Induktionsbeweis nicht durch Ausprobieren führt. Na, ich will mal freundlich sein und den Induktionsbeweis aufschreiben. smile

Behauptung:

Sei n0 > N fest vorgegeben

Dann gilt für alle m > 0

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m}| < |a_{n0}| * q^m \end{eqnarray*}$

Beweis durch Induktion über m.

Induktionsanfang: m = 1

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+1}| < |a_{n0}| * q^1 \end{eqnarray*}$

Dies gilt nach Voraussetzung.

Induktionsannahme: die Behauptung gilt für ein m0 > 0.

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m0}| < |a_{n0}| * q^{m0} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

Es ist zu zeigen, dass die Ungleichung dann auch für m0 + 1 gilt.

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m0+1}| < |a_{n0}| * q^{m0+1} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m0+1}| < |a_{n0+m0}| * q \end{eqnarray*}$ (nach Voraussetzung)

Wir setzen auf der rechten Seite die Induktionsannahme ein.

$\begin{eqnarray*} |a_{n0+m0+1}| < |a_{n0}| * q^{m0}* q = |a_{n0}| * q^{m0+1} \end{eqnarray*}$

Und das war zu zeigen.

Der Beweis ist stinknormal und sollte eigentlich von jedem Gymnasiasten geführt werden können. smile

30.05.2011, 00:14

carstenj

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Hi,

dank dir für deine Mühe. Du hast absolut recht mit deinen Äußerungen, nur leider hat man manchmal keine andere Möglichkeit auch noch so blöde Fragen zu stellen, wenn man aufs Verrecken nicht auf die Lösung kommt.

Und ja, ich habe auch schon drüber nachgedacht, das Ganze bleiben zu lassen, weil ich ja schon höre was du denkst. Augenzwinkern

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