Rang Beweis

28.05.2011, 10:08

ChronoTrigger

Rang Beweis

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} m,n,p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \in K^{p \times n} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} A\in K^{n \times m} \end{eqnarray*}$ eine Matrix vom Rang n. Zeige:
$\begin{eqnarray*} Rang(BA)=Rang(B) \end{eqnarray*}$

Die Aussage an sich ist mir eigentlich schon klar, ich weiß nur noch nicht so ganz, wie ich sie beweisen kann.

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Wenn ich die induzierten linearen Abbildungen von A und B betrachte, also $\begin{eqnarray*} \phi_A: K^m \to K^n, v \to Av \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \phi_B: K^m \to K^p, w \to Bw \end{eqnarray*}$

dann folgt bereits dadurch, dass $\begin{eqnarray*} Rang(A)=n \end{eqnarray*}$ gilt, die surjektivität von $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ , dann ist also $\begin{eqnarray*} Bild(\phi_A)=K^n \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich ja bloß zeigen, dass $\begin{eqnarray*} dim Bild(\phi_B \circ \phi_A)=dim Bild(\phi_B) \end{eqnarray*}$ gilt, und anschaulich gesehen, ist die Aussage auch klar.
Doch wie könnte ich das nun beweisen?

Hat jemand einen Tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

28.05.2011, 11:27

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(X)=g(f(X)) \end{eqnarray*}$ für beliebige Abbildungen.

28.05.2011, 12:07

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, aber was soll ich denn da zeigen? Das ist doch einfach die Definition der Komposition von Abbildungen Erstaunt1

29.05.2011, 18:20

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das ist die Gleichheit der Bilder, weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge ist. Mengengleichheit zeigt man, indem man beiderseitige Inklusion zeigt, dies wiederum, indem man zeigt, dass jedes Element der linken Menge in der rechten Menge und jedes Element der rechten Menge in der linken Menge liegt. Dann ist klar, wenn die Bilder gleich sind und die Abbildungen linear sind, ist die Dimension gleich. Das genau hast du gefragt.

30.05.2011, 17:11

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, habs jetzt hinbekommen.

danke für die Hilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

Rang Beweis

Verwandte Themen