Projektive Darstellung endlicher Gruppen und 2. Kohomologie, Künneth Formel

28.05.2011, 08:51	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Darstellung endlicher Gruppen und 2. Kohomologie, Künneth Formel Hallo, ich rätsele ein wenig an projektiven Darstellungen endlicher Gruppen herum. Einleitend dazu: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine endliche Gruppe, dann ist ein Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi: G\to PGL_n(\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ eine endlich dimensionale projektive Darstellung. Im Grunde ist sowas nur eine lineare Darstellung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit dem Unterschied, dass nicht wie bei einer linearen Darstellung $\begin{eqnarray} \forall \ g,h\in G: \phi(gh) = \phi(g)\phi(h) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \phi(gh) = c(g,h)\phi(g)\phi(h) \end{eqnarray}$ erfüllt sein muss. $\begin{eqnarray} c: G\times G \to \mathbb{C}^* \end{eqnarray}$ ist ein Korrekturfaktor, weil die Matrizen aus $\begin{eqnarray} PGL_n \end{eqnarray}$ sind und somit nur bis auf eine Konstante eindeutig. $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ muss die Kozyklusbedingung erfüllen: $\begin{eqnarray} c(xy,z)c(x,y) = c(x,yz)c(y,z) \end{eqnarray}$ und ist bei genauer Betrachtung ein Element aus $\begin{eqnarray} H^2(G,\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ . Ich bin sehr unbewandert in Kohomologietheorie. Denn nun nehme ich mir den Fall, dass ich zwei endliche Gruppen $\begin{eqnarray} G,G' \end{eqnarray}$ habe. Ich möchte ausgehend von $\begin{eqnarray} H^2(G,\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H^2(G',\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ etwas über $\begin{eqnarray} H^2(G\times G',\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ wissen. Welche Aussagen kann ich da treffen? Ich weiß, dass das Tensorprodukt da mitspielt. Gibt es sinnvolle Abbildungen zwischen $\begin{eqnarray} H^2(G,\mathbb{C}^)\otimes H^2(G',\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H^2(G\times G',\mathbb{C}^) \end{eqnarray}$ ? Kann die Künneth Formel hier helfen? Gibt es den Fall der zweiten Kohomologie von Produkten von Gruppen in der Literatur?

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