Poissonverteilung

28.05.2011, 11:15	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung Meine Frage: Die jährliche Anzahl der an Tollwut erkrankten Menschen im Land n sei Poissom verteilt mit $\begin{eqnarray} \lambda_{n} \end{eqnarray}$ . Welche Verteilung hat die jährliche Gesamtanzahl der an Tollwut erkrankten Menschen in den Ländern n = 1, ..., N? Hinweis: Bestimme zuerst die Verteilung von $\begin{eqnarray} X_{1}+ X_{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} X_{1}~P(\lambda_{1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_{2}~P(\lambda_{2}) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also die Definition kenne ich: $\begin{eqnarray} P(x)=\frac{\lambda ^{x}}{x!}\cdot e^{-\lambda }, x\in {0, 1, ...} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ Ich verstehe allerdings nicht so ganz, was bei der Aufgabe zu tun ist. Denn ich habe ja keine konkreten Werte, die ich einsetzen und mit denen ich rechnen kann. Was ist überhaupt gemeint mit "Verteilung bestimmen"?
28.05.2011, 11:36	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
du sollst die verteilung bestimmen, was hier der faltung entspricht. ich geh mal davon aus, das es so gemeint ist: $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig und alle poisson verteilt mit parameter $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ für i=1,...,N. zu bestimmen ist die verteilung von $\begin{eqnarray} X_1+\dots + X_N \end{eqnarray}$ wenn du allerdings die verteilung von $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ bestimmt hast, kannst dir den rest induktiv sofort herleiten. schau dir dazu am besten die faltungsformel mal an und als tipp, in dieser formel wirst du während deiner rechnung einmal die allgmeine binomische formel (die mit dem binomialkoeffiezient) anwenden müssen. da ich jetzt weg muss, kann ich wenn erst morgen wieder was dazu schreiben...
29.05.2011, 22:01	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm also ich hab bisher noch nichts von der faltungsformel gehört, aber habe folgendes dazu gefunden: Faltungsformel für Verteilungen: $\begin{eqnarray} F_{X+Y}(s) = \int_-\infty ^\infty \! F_{X}(S-y)\cdot f_{y}(y) \, dy \end{eqnarray}$ meintest du das ? ich weiß nur nicht, wie ich das anwenden kann ..
29.05.2011, 22:33	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das meinte ich mehr oder weniger. bei disktreten verteilungen ist das dann allerdings ein summenzeichen statt ein integragl. um es dir etwas leichter zu machen, schau dir mal den thread an: "Nachweis dass eine bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist" ist momentan einen beitrag unter deinem, da steht ansich die lösung...
30.05.2011, 10:54	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
habs gefunden, also dann ist das die faltungsformel: $\begin{eqnarray} P (X_{1} + X_{2} = n) = \sum_{k=0}^n P(X_{1}=k)\cdot P(X_{2}=n-k) \end{eqnarray}$ und dann: $\begin{eqnarray} P(X_{1}+X_{2}=n) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{\lambda _{1}^{k} }{k!} \cdot e^{-\lambda_{1}} \cdot \frac{\lambda _{2}^{n-k}}{(n-k)!} \cdot e^{-\lambda_{2}} \end{eqnarray}$ ist das jetzt erstmal richtig?
30.05.2011, 11:14	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
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30.05.2011, 23:20	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt muss ich noch die verteilung von $\begin{eqnarray} X_{1} + ... + X_{N} \end{eqnarray}$ , das ist ja dann die Verteilung $\begin{eqnarray} X_{n} \end{eqnarray}$ mit n = 1, ..., N bestimmen, aber wie hilft mir da die faltungsformel weiter ? denn jetzt habe ich ja nicht $\begin{eqnarray} P (X_{1} + X_{2} = n) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} P (X_{1} + ... + X_{N} = n) \end{eqnarray}$ das ist dann ja quasi $\begin{eqnarray} P ((\sum\limits_{n=1}^N X_{n} ) = n) \end{eqnarray}$ ?
31.05.2011, 00:05	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal musst du die verteilung von $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ bestimmen. $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ wird als lösung wieder poisson verteilt sein, mit welchen parametern musst du aber noch ausführlich ausrechnen. dann ist die verteilung von $\begin{eqnarray} X_1+X_2+X_3=Y+X_3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Y=X_1+X_2 \end{eqnarray}$ und Y,X_3 wieder poisson verteilt. $\begin{eqnarray} Y+X_3 \end{eqnarray}$ ist ja das gleiche spiel wie eben, sobald du die lösung von $\begin{eqnarray} X_1+X_2 \end{eqnarray}$ hast, ist die lösung von $\begin{eqnarray} Y+X_3 \end{eqnarray}$ klar. und so ziehst es auf den fall $\begin{eqnarray} X_1+\dots+X_N \end{eqnarray}$ hoch. verstehst was ich meine?

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