Maximalwertberechnung

28.05.2011, 12:26	gamma33	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximalwertberechnung Meine Frage: Guten Tag, Immentoch die Klauaur übermorgen, gleiche Funktion, andere Teilaufgabe. f(x)=2xe^x und folgendes: Die Gerade g: x=u, u<0, schneidet die x-Achse in P und den Graphen von f in Q. Der Koordinatenursprung bildet mit P ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A(u). Für welchen Wert von U wird A(u) maximal? Meine Ideen:* Nun habe ich die Lösung schon gegeben, weiß aber nicht, wie ich da hin komme. Flächenberechnung beim Dreieck 1/2 g(mal)h ist ja noch klar daher kommt auch 1/2 \|u\| in der Berechnung vor aber warum lautet die Gleichung: 1/2 \|u\|(mal)\|f(u)\|? Im weiteren heißt es = u(mal)f(u)(mal)1/2 da u<0 und f(u) <0 (logisch) =U²*e^u (warum?) und dann Maximum von A(u) suchen A'(u)= 0 und A''(u)<0 (warum?) Vielen Dank im Voraus, Thomas Rösing
28.05.2011, 16:17	prof. dr.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximalwertberechnung Zeichne dir mit irgendeiner anderen Farbe mal das gemeinte Dreieck ein. Dann wirst du bestimmt erkennen, dass $\begin{eqnarray} \| u \| \end{eqnarray}$ eine Seite des Dreiecks ist und $\begin{eqnarray} \| f\left(u\right) \| \end{eqnarray}$ die zu dieser Seite gehörende Höhe. Die Länge der Strecke PQ beträgt nämlich genau $\begin{eqnarray} \| f\left(u\right) \| \end{eqnarray}$ . Somit gilt also: $\begin{eqnarray} A\left(u\right) = \frac{1}{2} gh= \frac{1}{2} \| u \| \| f\left(u\right) \| \end{eqnarray}$ Für f(x) kannst du nun deine Funktionsgleichung einsetzen: $\begin{eqnarray} A \left(u\right) =\frac{1}{2} \| u \| \| f\left(u\right) \| = \frac{1}{2} \| u \| \| 2ue^{u} \| \end{eqnarray}$ So, da nun u<0 und f(u)<0 kannst du dir die Betragsstrichchen sparen: $\begin{eqnarray} A \left(u\right) = \frac{1}{2} * u * 2ue^{u} =u^{2} e^{u} \end{eqnarray*}$ Da du wissen willst, für welches u dieser Flächeninhalt MAXIMAL wird, gehst du nun so vor, als wenn du das lokale Maximum eines Funktionsgraphen suchst. Und das tust du, indem du normalerweise, indem du f'(x)=0 setzt und f''(x)<0 nachweist. Angewendet auf diesen Sachverhalt bedeutet das dann: A'(u)=0 setzen und für das u was du da rauskriegst A''(u)<0 nachweisen

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