äußeres semidirektes Produkt

28.05.2011, 15:01

carlf

äußeres semidirektes Produkt

Hi,

stehe vor der Aufgabe, zu zeigen dass
die Operation von $\begin{eqnarray*} \{e\} \times H \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} N \times \{e\} \end{eqnarray*}$ durch Konjugation für Gruppen N, H einer Operation die mittels $\begin{eqnarray*} \Sigma : H \to \text{Aut}(N) \end{eqnarray*}$ von H auf N wirkt entspricht.
Es geht dabei um das äußere semidirekte Produkt $\begin{eqnarray*} N \rtimes_\Sigma H \end{eqnarray*}$ mit der Verknüpfung
$\begin{eqnarray*} (x, g) \cdot (y, h) := (x \Sigma (g)(y), gh) \end{eqnarray*}$ (zugrundeliegende Menge ist $\begin{eqnarray*} N \times H \end{eqnarray*}$ .

In den vorherigen Teilaufgaben habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} N \rtimes_\Sigma H \end{eqnarray*}$ mit dieser Verknüpfung eine
Gruppe ist, $\begin{eqnarray*} N \times \{e\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{e\} \times H \end{eqnarray*}$ zu N bzw. H isomorphe Untergruppen sind und dass
$\begin{eqnarray*} N \rtimes_\Sigma H \end{eqnarray*}$ semidirektes Produkt von $\begin{eqnarray*} N \times \{e\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{e\} \times H \end{eqnarray*}$ ist (also der Schnitt nur (e, e) enthält, das Produkt ganz $\begin{eqnarray*} N \times H \end{eqnarray*}$ ist und dass $\begin{eqnarray*} N \times \{e\} \end{eqnarray*}$ Normalteiler ist).

Die Operation durch Konjugation ist aber doch -- unabhängig von $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ -- wegen
$\begin{eqnarray*} (x, g)^{-1} = (\Sigma(g)^{-1} (x^{-1}), g^{-1}) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (e, g)^{-1} = (e, g^{-1}) \end{eqnarray*}$ für alle Sigma
eindeutig bestimmt, nämlich als Identität, denn:
$\begin{eqnarray*} (e, g) (n, e) (e,g^{-1}) = (n, e) \end{eqnarray*}$ .

Obwohl es im Allgemeinen doch durchaus verschiedene Sigma geben sollte, d.h. verschiedene Operationen von H auf N...

Vielen Dank für alle Hilfen schonmal im Voraus,
carlf

28.05.2011, 16:29

juffo-wup

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RE: äußeres semidirektes Produkt

Zitat:

Original von carlf
$\begin{eqnarray*} (e, g) (n, e) (e,g^{-1}) = (n, e) \end{eqnarray*}$

Du musst dich hier verrechnet haben, denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} (e,g)(n,e)(e,g^{-1})=(e\Sigma(g)(n),ge)(e,g^{-1})=(\Sigma(g)(n),g)(e,g^{-1})=(\Sigma(g)(n)\Sigma(g)(e),gg^{-1})=(\Sigma(g)(n),e) \end{eqnarray*}$

Und das ist auch, was herauskommen sollte, da ja die Konjugation eines Elementes n aus N mit einem Element g in H innerhalb von $\begin{eqnarray*} N\rtimes_{\Sigma} H \end{eqnarray*}$ dem Anwenden des zu g gehörigen Automorphismus $\begin{eqnarray*} \Sigma(g) \end{eqnarray*}$ auf n entsprechen soll.

28.05.2011, 16:46

carlf

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RE: äußeres semidirektes Produkt
Tatsächlich.
Danke smile

Hatte wohl wegen (n, e) (e, g) = (n, g) auch unbewusst (e, g) (n, e) = (n, g) benutzt..
So ergibt wieder alles Sinn.

Schönen Dank für die Fehlersuche.

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