Maximum eines Stadions |
| 28.05.2011, 15:44 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Maximum eines Stadions Hallo, Ich habe eine Übungsaufgabe bei der ich nicht weiß wie ich rangehen soll. Folgendes: Eine Stadium Aussehen EIn Viereck (länge: x höhe 2r) und an jedem Ende des Vierecks ein Halblreis (ungefähr so:http://www.labor-lehmacher.de/uploads/pics/augustdorf.jpg). Gegeben sind eben länge: x und höhe 2r Umfang: 500m Brechnen soll ich halt das Maximum. Meine Ideen: Ich weiß wie man das Maximum von einem einzelnen Viereck berechne: HB: A = x*y NB: 2x +2y = 500 Zielfkt.: Auflösen der Nb: y = 250 -x Nun in HB einsetzen: A(x) = -x² +250x Also ZF: A(x) = -x² +250x Nun den Extremwert bestimmen: A'(x) = 2-x +250 = 0 x = 125 Dies nur noch in die Zielfktn. einsetzen: A(x) = -125²+250*125 = 46 875 Leider nützt mir dies alles nichts, da ich den kreis mit einbeziehen muss und sich so alle Werte aändern und nicht mehr gelten. Also was tun? |
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| 28.05.2011, 15:55 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Das Maximum von was sollst du berechnen? Ich denke, die Fläche soll maximiert werden, oder? 
Und dazu musst du halt den Umfang und die Fläche des Kreises mit einbeziehen. Hierbei hast du keine neue Variable, das r ist ja schon im Rechteck (oder ist es wirklich nur ein Viereck?) gegeben. 
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| 28.05.2011, 16:15 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Ja, mann sol das Maximum des Flächeninhaltes berechnen. Aber ich habe keine Ahnung wie ich den Kreis miteinbeziehen soll, da bräuchte ich eben etwas Hilfestellung. |
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| 28.05.2011, 16:23 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Dann fangen wir mit dem Umfang an. Er soll 500 m betragen. Woraus setzt er sich zusammen? Doch aus zweimal der Länge x und zwei halben Kreisumfängen, also einem ganzen Umfang. Schreibe dies doch mal in eine Gleichung. PS: Ähnliche Aufgaben findest du hier übrigens im Board, wenn du mal unter "Sportplatz" suchst. |
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| 28.05.2011, 16:29 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Mach ich: 500m = 2x +2*pi*r Ja ok das wäre dann jawol die Nebenbedingung dafür und die Hauptbedingung wäre dann: A = x*2r+pi*r² So richtig? |
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| 28.05.2011, 16:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Maximum eines Stadiums
Stimmt. 
Und ja, das ist die NB. Die brauchen wir, um eine der Variablen in der HB zu ersetzen. Die HB stimmt auch.
Kannst du die NB also so umstellen, dass x oder r in der HB ersetzt werden? (Ich würde x wählen) 
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| 28.05.2011, 16:46 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok das sollte dann so aussehen: r = (500m-2x)/2pi Eingesetzt in di HB: A = x*2*((500m-2x)/2pi) +pi*((500m-2x)/2pi)² Soweit alles richtig? |
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| 28.05.2011, 16:52 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, du hast leider meinen Tipp nicht aufgegriffen:
Natürlich kann man auch das r ersetzen, keine Frage. Es scheint mir aber viel umständlicher, als das x zu ersetzen.
Ja.
Allerdings kannst du dann noch die 2 rauskürzen und hättest dann: r = (250m - x)/pi
Ist es schon, wenn man mal davon absieht, dass du nicht gekürzt hast aber: Das wird eine üble Rechnerei (egal, ob du kürzt oder nicht), willst du nicht lieber das x ersetzen?
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| 28.05.2011, 16:53 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab den Tipp mit dem x überlesen ^^' Werde ich sofort machen. So: 250m = x +pi*r eingesetzt: A = (250m -pi*r) *2r +pi*r² Besser? ^^ |
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| 28.05.2011, 16:59 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sehr viel besser.
Jetzt löse die Klammer auf und vereinfache ein bisschen.
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| 28.05.2011, 17:05 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
BIn mir gerad nicht sicher: r*500m -pi*r² |
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| 28.05.2011, 17:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, kleiden wir das in eine Gleichung: A(r) = 500r - pi·r²
Die Einheit habe ich mal unterschlagen, r ist ja auch in m, das brauchen wir für die Rechnung nicht. Jetzt also ableiten und den Extremwert bestimmen.
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| 28.05.2011, 17:18 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gut, Ableitung: A'(r) = 500 -2pi*r Extremwert: r = 79,57... |
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| 28.05.2011, 17:23 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig.
Genauer: 250/pi(Jetzt dürfte die Einheit auch wieder erscheinen.
)Eigentlich musst du noch überprüfen, ob du ein Minimum oder ein Maximum vorliegen hast.
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| 28.05.2011, 17:29 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, da hab ich jetzt ein kleines Problem den um das zu bestimmen, muss ich ja das Extremum in die II Ableitung einsetzen doch die lautet: A''(r) = -2*pi. wie soll ich da etwas einsetzten? |
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| 28.05.2011, 17:32 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, geht nicht.
-2·pi ist auf jeden Fall negativ, also hast du ein Maximum vorliegen.
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| 28.05.2011, 17:37 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah, ok so geht das. Gut, und was jetzt? |
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| 28.05.2011, 17:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir kennen r, wir brauchen noch x und können dann die maximale Fläche berechnen, wie es in der Aufgabenstellung verlangt wird.
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| 28.05.2011, 17:40 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Perfekt und das ist dann das Maximum? Sehr gut. Dann mache ich mal, kleinen Moment. Kleines Problem, wenn ich r = 250/pi ind die NB, 500m = 2x +2pi*250/pi einsetzte kommt bei mir x = 0 raus, aber das kann ja nicht stimmen. Was mache ich falsch? Ok, jetzt hab ich nochmal gerechnet und -142,69 herausbekommen, das kann aber auch nicht stimmen. |
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| 28.05.2011, 18:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun, in der Tat wird x = 0, denn die größe Fläche erreichst du mit einem Kreis. Das fand ich nun auch etwas seltsam, denn kreisrunde Sportstadien sind ja eher selten.
Könnte es sein, dass du die Aufgabenstellung unpräzise angegeben hast?
Schau nochmal genau nach, was denn maximal werden soll. Wenn es die gesamte Fläche ist, stimmt unsere Rechnung. Wenn es nur die rechteckige Fläche ist, müssen wir noch mal ran...
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| 28.05.2011, 18:06 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
2. Aufgabe: Extremwert bestimmen, Aufgabe ist über einen Fußballplatz , Umfang (laufbahn) 500m Fußballplatz: Breite: x höhe 2*r (radius der Seitenteile) [http://www.labor-lehmacher.de/uploads/pics/augustdorf.jpg] damit ist das Seitenteil gemeint wo hier z.B. Weitsprung steht. Es soll das Maximum des Flächeninhalts berechnet werden. Das hat ein Klassenkamerad in Facebook gepostet. Mehr weiß ich nicht, er hat nämlich aus irgendeinem Grund den ich nicht kenne, die Arbeit einer anderen Klasse mitgeschrieben die aber den selben Lehrer hat wie wir und wir Montag schreiben, dachte ich das ich die mal rechnen sollte. Mein Kumpel kann mir aber nciht helfen, da der keine Ahnung hat. Wie man auf diese Weise ein Rechteck berechnet weiß ich ja. |
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| 28.05.2011, 18:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In diesem Falle empfehle ich dir, die Aufgabe selbst noch einmal durchzurechnen und dabei die Fläche des Sportplatzes zu maximieren. Da es sich aber um eine zu schreibende Klassenarbeit handelt, wirst du das alleine machen müssen und auch keine Bestätigung deiner Rechnung erhalten. Ich hoffe, du hast Verständnis für diese Haltung, die durch das Boardprinzip vorgegeben ist.
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| 28.05.2011, 18:17 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verständnis habe ich, aber Verstehen tu ich es nicht. Das mit dem Slebstrechnen ist klar, hab ich ja auch die ganze Zeite getan und du hats mich nur angeleitet. Also habe ich geübt, und mir nichts vorsagen lassen. Ich verstehe auch nicht was daran so schlimm ist sich Ergebnis die man errechnet hat bestätigen zu lassen. Denn wenn mir hier keiner hilft bin ich aufgeschmissen, da mir ansonsten keiner helfen kann, naja. AUßerdem ist ja nicht gasagt das wir die selbe Arbeit schreiben, welcher Lehrer würde sowas machen. |
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| 28.05.2011, 18:24 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun, da gibt es schon Lehrer, die das machen würden. Du kannst gerne im Board mit der Suchfunktion nach "Laufbahn" oder "Sportplatz" suchen. Dort findest du Threads zu deiner Aufgabe, nur mit etwas anderen Zahlen. Rechne sie durch, dann kannst du vergleichen, ob du alles richtig gemacht hast. Wenn du die vorliegende Aufgabe noch einmal rechnen möchtest und die Rechteckfläche maximierst, könnte ich dir dein Ergebnis bestätigen. Ich denke, das kann ich vertreten.
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| 28.05.2011, 18:25 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok gut, mir ist aber gerade noch etwas aufgefallen den die breite des Platzes ist ja nicht r sondern 2r. Habe wir das berücksichtigt? |
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| 28.05.2011, 18:27 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Haben wir:
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| 28.05.2011, 18:38 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Nein ich meine hätte ich dann nicht: 500m = 2x +2pi *(2*250/pi) rechnen sollen. Aber eig kann es das auch nicht sein, das Ergebnis wäre sonst: -250m. Und das kanns ja auch nicht sein, ich glaub setze mich am besten in die Ecken und Weine 
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| 28.05.2011, 18:43 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Maximum eines Stadiums
Die Gleichung stimmt ja auch nicht. 500 = 2x + 2·pi·r Wir haben errechnet: r = 250/pi Wenn man das einsetzt: 500 = 2x + 2·pi·250/pi Und das ist: 500 = 2x + 2·250 Deshalb: x = 0 Die maximierte Gesamtfläche ist also ein Kreis. Daher meine Frage nach der korrekten Aufgabenstellung. |
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| 28.05.2011, 22:01 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Maximum eines Stadiums Hallo, eine Klassenkameradin hat ie Aufgabe mit anderen Maßen auf auf der Homepage unseres Lehres gefunden, ich werde sie jetzt hier mit allem drum und dran vorrechnen und bräuchte dann nur jemanden der sie überprüfen tut. "Für welchen radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal?" Doch statt dem x werde ich mit r rechnen und x weiterhin für di länge des Platzes verwenden, da ich es hier schon die ganze Zeit so getan habe. Gegeben: U = 400m x = ? r = ? Gesucht: r = ? Da wir für die Höhe 2r benötigen wandel wir den Radius (2r) einfach in den Durchmesser (d) um, um einfacher rechnen zu können. Denn sonst müssten wir injeder Gleichung r*2 rechnen und dies ist zu umständlich. 1. Zunächst müssen wir die Haubtbedingung (HB) und die Nebenbedingung (NB) aufstellen. HB: A = x*d NB: U = 400(m) = 2x + 2d 2. Die NB so umstellen das wir ein Variable in der HB ersetzen können. So erhalten wir die Zielfunktion (ZF). 400 = 2x + 2d | /2 200 = x + d x = 200 -d A = (200 -d)*d ZF: A = 200*d -d² 3. Nun müssen wir ableiten und den Extremwert (E) bestimmen. A' = 200 -2d 0 = 200 -2d | /-2 0 = -100 +d E: d = 100 4. Jetzt müssen wir noch x berechnen um dann den Flächeninhalt (A) bestimmen zu können. Wir setzten also E in die NB ein. U = 400(m) = 2x + 2d 400 = 2x + 2*100 | /2 200 = x + 100 x = 100 5. Nun haben wir d und x und können nun den Maximalen Flächeninhalt des Rechteckes errechen. Wir setzten x und r in die HB ein A = x*d A = 100m*100m A = 10000m² Der Maximale Flächeninhalt des Fußballplatzes beträgt 10000m². 6. In der Aufgabenstellung ist auch nach dem Radius (r) der Halbkreise gefragt. Dazu teilen wir einfach den Durchmesser (d) durch 2. r = d/2 r = 100m/2 r = 50m Ergebnisse: r = 50m A = 10000m² Das war die gesammte Aufgabe, ich bin zuversichtlich das diese richtig ist, bitte aber trotzdem noch um eine Überprfüfung. Lg Ianth Edit: Achja, und noch herzlichen Dank an sulo für die tolle Hilfe.^^ |
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| 28.05.2011, 22:09 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich antworte mal für sulo, da sie wohl schon off ist
Umfang eines Kreises ist?
Da liegt ein Fehler drin. Sonst siehts aber recht gut aus
r ist falsch! Edit: sulo ist just in dem Moment wieder da 
Mach nur weiter 
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| 28.05.2011, 22:25 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kapier ich gerade nicht was soll ich mit dem Umfang, meinst du etwa das in den 400m auch der Umfang des Kreises einbezogen ist? daran hate ich gar nicht gedacht. Was mache ich denn jetzt, d.h. ja das meine Ergebnisse und rechnungen falsch sind, oder irre ich mich? |
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| 28.05.2011, 22:29 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Umfang ist der Umfang des gesamten Stadion. Er setzt sich zusammen wie bei der ersten Aufgabe. Deine Ergebnisse sind deswegen leider falsch. Diese Aufgabe ist übrigens ein Klassiker, hier im Board und auch auf anderen Seiten kannst du Rechnungen und Lösungen finden. Deswegen sollte es kein Problem sein, wenn ich dir noch Tipps gebe.
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| 28.05.2011, 22:31 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja mir ist das ganze gerade eben auch aufgefallen, in die 400m läuft der Umfang des Kreises ja rein. Ich werde das genaze nocheinmal rechnen und dann nocheinmal hier reisntellen. |
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| 28.05.2011, 23:08 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, eine Klassenkameradin hat ie Aufgabe mit anderen Maßen auf auf der Homepage unseres Lehres gefunden, ich werde sie jetzt hier mit allem drum und dran vorrechnen und bräuchte dann nur jemanden der sie überprüfen tut. "Für welchen radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal?" Doch statt dem x werde ich mit r rechnen und x weiterhin für di länge des Platzes verwenden, da ich es hier schon die ganze Zeit so getan habe. Gegeben: U = 400m x = ? r = ? Gesucht: r = ? 1. Zunächst müssen wir die Haubtbedingung (HB) und die Nebenbedingung (NB) aufstellen. HB: A = x*2r NB: U = 400(m) = 2x +2*pi*r 2. Die NB so umstellen das wir ein Variable in der HB ersetzen können. So erhalten wir die Zielfunktion (ZF). 400 = 2x +2*pi*r |/2 200 = x +pi*r x = 200 -pi*r A = (200 -pi*r)*2r ZF: A = 400r -2*pi*r² 3. Nun müssen wir ableiten und den Extremwert (E) bestimmen. A' = 400 -4*pi*r 0 = 400 -4*pi*r |/-4 0 = -100 +pi*r 100 = pi*r |/pi E: r = 31,8309886 4. Jetzt müssen wir noch x berechnen um dann den Flächeninhalt (A) bestimmen zu können. Wir setzten also E in die NB ein. U = 400(m) = 2x +2*pi*r 400 = 2x + 2*pi*31,8309886 |/2 200 = x + pi*31,8309886 200 = x + 99,9999999 (Wir runden auf 100) 200 = x + 100 x = 100 5. Nun haben wir r und x und können nun den Maximalen Flächeninhalt des Rechteckes errechen. Wir setzten x und r in die HB ein A = x*2r A = 100m*2*31,8309886m A = 6 366,19772m² Der Maximale Flächeninhalt des Fußballplatzes beträgt 6 366,19772m². Ergebnisse: r = 31,8309886m A = 6 366,19772m² (Die rechteckige Fläche ohne Kreis) Das war die gesammte Aufgabe, ich bin zuversichtlich das diese richtig ist, bitte aber trotzdem noch um eine Überprfüfung. Lg Ianth Erneut herzlichen Dank an sulo für die tolle Hilfe.^^ |
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| 28.05.2011, 23:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe deine Rechnungen jetzt nicht im Einzelnen überprüft, da aber die Ergebnisse (r = 100/pi = 31,83...m und x = 100 m) stimmen
, sollten die Rechnungen auch in Ordnung sein.Nach der Fläche wurde in der Aufgabenstellung zwar nicht gefragt, aber bei deiner Angabe solltest du vorsichtig sein: Du hast hier nur die Fläche des rechteckligen Feldes berechnet, nicht die der gesamten Anlage. Da müsste noch die Kreisfläche hinzukommen.
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| 28.05.2011, 23:20 | Ianthraghor | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Darum gings mir ja auch. Ich schreibe es aber nochmal dazu. |
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| 28.05.2011, 23:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt, da hatte ich die ursprüngliche Aufgabenstellung noch im Kopf. Von daher: Alles richtig gemacht.
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