Parabel Punkt Abstand

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28.05.2011, 16:55	pauler	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel Punkt Abstand Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe: Es ist folgende Funktionenschar gegeben: $\begin{eqnarray} f(x)=a x²+(0,19-5 a) x \end{eqnarray}$ Nun soll der Abstand einer Funktion zum Punkt P(4,775\|0,95) mindestens 0,121 betragen. Die Frage ist nun, für welche a das zutreffend ist. Meine Ideen: Ich habe erstmal über Pytagoras die Abstandsfunktion aufgestellt. $\begin{eqnarray} d(x)=(x-4,775)²+(a x²+(0,19-5 a) x-0,95)² \end{eqnarray}$ Dann die Ableitung gebildet und Null gesetzt. Dann wollte ich eigentlich nach x auflösen, den Term in die Abstandsfunktion einsetzen und nach a auflösen. Das Problem ist nur, dass die Ableitung der Abstandsfunktion ein kubische Funktion ist und das ganze so zu einer Mordsrechnerei ausgeartet ist. Wenn man a dann wieder in die Abstandsfunktion einsetzt, kann man das ja notfalls auch noch numerisch lösen... Deshalb habe ich mich gefragt, ob das nicht auch noch einfacher geht.
28.05.2011, 17:13	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst: $\begin{eqnarray} d(x)=\sqrt{(x-4,775)^2+(a x^2+(0,19-5 a) x-0,95)^2} \end{eqnarray}$
28.05.2011, 17:33	pauler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber die Wurzel ändert nichts am Minimum, deswegen kann man sie auch weglassen. Hat denn niemand eine Idee?
28.05.2011, 18:08	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, sie ändert an dem Wert des Minimums etwas. An dem x-Wert natürlich nichts, ich meine den y-Wert. Du möchtest ja gar nicht, dass der Abstand 0 beträgt, sondern er soll 0,121 betragen. Die Frage ist also, für welches $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ es ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass der Abstand von $\begin{eqnarray} (x_0, f(x_0)) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} P(4.775 \ \| \ 0.95) \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} 0,121 \end{eqnarray}$ ist. Vielleicht $\begin{eqnarray} d(x_0)=\sqrt{(x_0-4,775)^2+(a x_0^2+(0,19-5 a) x_0-0,95)^2} =0,121 \end{eqnarray}$ ? Es gibt viele Möglichkeiten für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ könnte z.B. $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sein, dann gäbe es wiederum 2 $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , sodass der Abstand 0,121 ist. Edit: Schaust du hier.
28.05.2011, 18:26	pauler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Der Abstand muss mindestens 0,121 groß sein, er kann auch größer sein. Mein Ziel ist für a ein Intervall anzugeben, für das die Bedingung erfüllt ist. Meine Idee war den Minimalabstand in Abhängigkeit von a zu bestimmen und zu schauen ob er größer gleich 0,121 ist.
28.05.2011, 19:21	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist gut. Dann kannst du das ja einschachteln. Du rechnest den Minimalabstand aus, wenn der größer als 0,121 ist, kanns garnicht gehn. Dann schaust du, welches der größte mögliche a wert ist.
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28.05.2011, 20:16	Pauler	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber da liegt doch mein Problem. Ich kann den Minimalabstand ja nur in Abhängigkeit von a angeben. Dazu muss ich aber ein kubische Gleichung mit ziemlich komplizierten Koeffizienten auflösen...
28.05.2011, 20:17	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht die Gleichung denn aus ?
28.05.2011, 20:49	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansonsten setze einfach mal $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ ein. Du kannst meiner Zeichnung ja entnehmen, dass es dann 2 Lösungen gibt.
29.05.2011, 22:03	Pauler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung heißt: $\begin{eqnarray} 0=2 a^2 x^3+(-15 a^2+0,57 a) x^2+(25 a^2-3,8 a+2,0361) x+(4,75 a-9,7305) \end{eqnarray}$ Und für a=0 gibt es nur eine Lösung, odr sehe ich da was falsch? Die Lösung wäre dann x=4,779
29.05.2011, 22:36	Pascal_	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze a=0 und sehe in meiner Zeichnung, dass es zwei Punkte auf der roten Kurve gibt, die einen Abstand von 0,121 zum Punkt P haben. bin für heute weg

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