Komplement zu 2 linearen Unterräumen

11.12.2006, 20:55

SilverBullet

Komplement zu 2 linearen Unterräumen

Zitat:

Aufgabe : Seien U, U' lineare Unterräume eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Unter welcher Bedingung besitzen U und U' ein gemeinsames Komplement in V ? Das heißt : Wann gibt es einen Unterraum C, sodass $\begin{eqnarray*} V = U \oplus C = U' \oplus C \end{eqnarray*}$ gilt ?

Nun ich habe mir gedacht das dies der Fall ist wenn gilt :

Die Dimension von U und U' muss gleich sein
C muss linear unabhängig von U und U' sein.

Das heißt also :

dim(U) + dim(C) = dim(V)
dim(U') + dim(C) = dim(V)

Daraus folgt : dim(U) = dim(U')

Was meint ihr ? Wie zeige ich das es wirklich linear unabhängig sein muss ?
Stimmt das denn bis hierhin ?

11.12.2006, 21:23

Mathespezialschüler

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Was meinst du mit linear unabhängig? Was soll es denn bedeuten, dass zwei Unterräume linear unabhängig sind?

Gruß MSS

11.12.2006, 21:39

SilverBullet

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Soll heißen sie haben keine gemeinsammen Vektoren.

Das wiederum bedeutet doch, dass U = U' sein muss.
Und das kann man doch durch Widerspruch beweisen indem man annimt es gibt ein u in U welches nicht in U' ist. Der Widerspruch liegt dann darin das dann C nicht mehr das gemeinsame Komplement ist.

Ja so müsste das klappen... Hab ich dann alles ? Oder hab ich dann was übersehen ?

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