R^n 0 einfach zusammenhängend für n>=3

28.05.2011, 18:52

Gast11022013

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R^n 0 einfach zusammenhängend für n>=3

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend ist für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Eine Definition von "einfach zusammenhängend", die ich kenne, ist, dass alle geschlossenen stetigen Kurven in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ nullhomotop sein müssen.

Hilft das weiter?

29.05.2011, 10:33

Abakus

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RE: R^n 0 einfach zshgnd. für n>=3

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Ideen:
Eine Definition von "einfach zusammenhängend", die ich kenne, ist, dass alle geschlossenen stetigen Kurven in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ nullhomotop sein müssen

Hallo,

wäre das nicht bereits einfach wegzusammenhängend?

Abakus smile

smile

29.05.2011, 15:55

Gast11022013

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Das kann sein. Und was ist dann?

29.05.2011, 19:02

Gast11022013

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Hat jemand noch - auch, wenn Sonntag ist und ich Euch allen Eure Pause gönne - einen Tipp für mich, wie ich diese komische Aufgabe lösen könnte? Wink

Wink

29.05.2011, 19:56

Abakus

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Versuche doch mal, es mit deiner Definition zu zeigen:

- der Raum ist wegzusammenhängend: verbinde 2 beliebige Punkte außer 0 und gebe einen Weg an

- jede geschlossene Kurve, die Null nicht enthält, lässt sich zusammenziehen: nehme eine solche Kurve und suche eine stetige Zusammenziehung

Abakus smile

smile

29.05.2011, 20:03

Gast11022013

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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das mathematisch ausdrücken kann.

Dass ich zeigen muss, dass man eine geschlossene stetige Kurve zusammenziehen kann, ist mir im Grunde klar.

Wozu benötige ich eigentlich, dass der Raum wegzusammenhängend ist?

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29.05.2011, 20:16

Abakus

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Wenn z ein Punkt ist, wie sieht die Formel für Konvexkombinationen zwischen z und Punkten einer Kurve $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \end{eqnarray*}$ aus?

Daraus müsstest du eine Kontraktion machen, welcher Parameter könnte sich verändern?

Abakus smile

smile

29.05.2011, 20:24

Gast11022013

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Ohje, ohje, ohje.
Das sind alles Dinge, die ich noch nie gehört habe.

Konvexkombination, so lese ich gerade, ist der Name für Linearkombinationen in reellen Räumen, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall stammen und deren Summe 1 ergibt.

$\begin{eqnarray*} z=a_1z_1+a_2z_2+...+a_nz_n=\sum_{i=1}^n a_i z_i, 0\leq a_i \leq 1, \sum_{i=1}^n a_i=1 \end{eqnarray*}$

Daraus eine Kontraktionen machen...
Welcher Parameter könnte sich verändern...

Hm.

29.05.2011, 20:28

Abakus

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$\begin{eqnarray*} \psi(t) = (1 - \alpha) \cdot \varphi(t) + \alpha \cdot z \end{eqnarray*}$

Was sagst zu der Formel? Das Alpha bewegt sich zwischen 0 und 1 einschließlich.

Abakus smile

smile

29.05.2011, 20:33

Gast11022013

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Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} \psi(t) = (1 - \alpha) \cdot \varphi(t) + \alpha \cdot z \end{eqnarray*}$

Was sagst zu der Formel? Das Alpha bewegt sich zwischen 0 und 1 einschließlich.

Abakus smile

smile

Für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ kommt dann

$\begin{eqnarray*} \psi(t)=\varphi(t) \end{eqnarray*}$ heraus, für

$\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ kommt

$\begin{eqnarray*} \psi(t)=z \end{eqnarray*}$ heraus.

Also Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \end{eqnarray*}$
Endpunkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$

Es tut mir wirklich leid, aber ich erkenne gar nicht, worauf das alles hinausläuft.
$\begin{eqnarray*} \psi(t) \end{eqnarray*}$ ist jetzt ein Weg (Wegzusammenhang genutzt).

Was ist jetzt mit einer Kurve, die man zusammenziehen kann?

29.05.2011, 20:41

Abakus

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Zitat:

Original von Dennis2010
Also Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \end{eqnarray*}$
Endpunkt $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$

Es tut mir wirklich leid, aber ich erkenne gar nicht, worauf das alles hinausläuft.
$\begin{eqnarray*} \psi(t) \end{eqnarray*}$ ist jetzt ein Weg (Wegzusammenhang genutzt).

Was ist jetzt mit einer Kurve, die man zusammenziehen kann?

Statt Punkte handelt es sich oben jeweils um Kurven. Wenn du den Parameter Alpha veränderst, deformiert sich deine Kurve Phi jeweils (das Phi ist die Kurve, die auf einen Punkt zusammengezogen werden soll, das hast du erkannt?).

Im Prinzip hast du es da stehen, du müsstest nur noch die Kontraktion hinschreiben. Das ist eine Abbildung von [0, 1] in einen Raum von Kurven...

Abakus smile

smile

29.05.2011, 20:47

Gast11022013

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Ah! Am Anfang $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ steht da noch die ursprüngliche Kurve, nämlich $\begin{eqnarray*} \varphi(t) \end{eqnarray*}$ , dann findet der "Umwandlungsprozess" statt und am Ende $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ ist aus der Kurve dann der Punkt z geworden.

Okay, das habe ich verstanden.

Was meinst Du nun damit, dass ich die Kontraktion hinschreiben muss?
War dies denn nicht jetzt die Kontraktion?

Ich tu' mich sehr schwer, sorry.

29.05.2011, 20:52

Abakus

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Du müsstest es so hinschreiben, wo man eine Funktion/Kurve gewöhnlich hinschreibt, mit allem PiPaPo halt.

Ansonsten hast du noch ein kleines Problem mit der 0, die darf nämlich nicht auf den ganzen Kurven liegen. Ggf. musst du es also noch etwas modifizieren... aber jetzt ist das Prinzip ja erstmal klar.

Abakus smile

smile

29.05.2011, 21:03

Gast11022013

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Zitat:

Original von Abakus
Du müsstest es so hinschreiben, wo man eine Funktion/Kurve gewöhnlich hinschreibt, mit allem PiPaPo halt.

Meinst Du sowas:

$\begin{eqnarray*} \psi:[0,1]\to \left\{(1-\alpha)\phi(t)+\alpha\cdot z\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ geschlossene stetige Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb R^n\backslash 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ansonsten hast du noch ein kleines Problem mit der 0, die darf nämlich nicht auf den ganzen Kurven liegen. Ggf. musst du es also noch etwas modifizieren... aber jetzt ist das Prinzip ja erstmal klar.

Abakus smile

smile

Stimmt, es könnte ja passieren, dass die 0 auf einer der Kurven liegt.
Was könnte man machen, damit das nicht passieren kann... hm...

Vielleicht noch irgendwo eine Konstante addieren? verwirrt

verwirrt

29.05.2011, 21:27

Abakus

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Zitat:

Original von Dennis2010
Meinst Du sowas:

$\begin{eqnarray*} \psi:[0,1]\to \left\{(1-\alpha)\phi(t)+\alpha\cdot z\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ geschlossene stetige Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\backslash 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb R^n\backslash 0 \end{eqnarray*}$

Ja, bestens Augenzwinkern

Augenzwinkern

, wobei du den Wertebereich von Alpha noch in deine Wertebereichmenge reinschreiben solltest...

Deine Kontraktion "läuft" nun in n Komponenten, ggf. machst du das noch anders und sparst zB zunächst eine Komponente ungleich 0 aus und ziehst alle anderen zusammen, und widmest dann noch speziell der letzten Komponente eine weitere Kontraktion. Hier müsstest du dann 2 solche Kontraktionen hintereinander ausführen, aber du hättest die Garantie, dass die 0 nicht auf den Kurven liegt. Oder du hast halt eine andere Idee...

Abakus smile

smile

29.05.2011, 22:32

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Deine Kontraktion "läuft" nun in n Komponenten, ggf. machst du das noch anders und sparst zB zunächst eine Komponente ungleich 0 aus und ziehst alle anderen zusammen, und widmest dann noch speziell der letzten Komponente eine weitere Kontraktion. Hier müsstest du dann 2 solche Kontraktionen hintereinander ausführen, aber du hättest die Garantie, dass die 0 nicht auf den Kurven liegt. Oder du hast halt eine andere Idee...

Ich hätte einen kleinen Einwand: Die Idee mit einer Kontraktion, die man ggf. ein bisschen speziell machen muss, ist ganz natürlich, aber ich bezweifle irgendwie, dass das in dieser Art und Weise tatsächlich für alle stetigen Kurven funktionieren kann (für differenzierbare Kurven passt das z.B. schon, da deren Bild Mass 0 haben muss und wir dann die Kurve erst an der 0 vorbeischieben können).

Wenn wir hingegen eine stetige Kurve haben, welche z.B. die gesamte Sphäre $\begin{eqnarray*} S^{n-1} \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ausfüllt, wie soll man denn dann die Kurve mit einer geradlinigen Verformung in einen einzelnen Punkt zusammenziehen? Da braucht es schon ein bisschen mehr Trickerei, denke ich.

Ich sehe im wesentlichen zwei Möglichkeiten, diese Schwierigkeit zu umschiffen:

1. Jede stetige Kurve ist homotop zu einer differenzierbaren. Also reicht es, die Aussage für differenzierbare Kurven zu zeigen.

2. Man kann jeden Weg deformieren, so dass er auf $\begin{eqnarray*} S^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu liegen kommt: Es reicht also zu zeigen/zu wissen, dass $\begin{eqnarray*} S^{m-1} \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend ist für $\begin{eqnarray*} m \ge 3 \end{eqnarray*}$ . (wenn man hier z.B. van Kampen's Theorem kennt, ist die Sache recht einfach - man brauchts aber nicht zwingend)

29.05.2011, 23:06

Abakus

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Zitat:

Original von gonnabphd
Wenn wir hingegen eine stetige Kurve haben, welche z.B. die gesamte Sphäre $\begin{eqnarray*} S^{n-1} \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ausfüllt, wie soll man denn dann die Kurve mit einer geradlinigen Verformung in einen einzelnen Punkt zusammenziehen? Da braucht es schon ein bisschen mehr Trickerei, denke ich.

Ja, solche erstaunlichen Kurven gibt es und an die hab ich dabei nicht gedacht. Dennoch, der Nullpunkt darf ja nicht auf der Kurve liegen. Die Sphäre lässt sich linear auf ihren Mittelpunkt zusammenziehen - vorausgesetzt der Nullpunkt liegt jetzt nicht drinnen zB. Liegt er drinnen, wird die Sphäre einfach ein bisschen weggeschoben und dann zusammengezogen.

OK, ich denke man muss da wirklich nochmal sehr genau hinschauen. Nur differenzierbare Wege zu nehmen, scheint da eine gute Lösung zu sein - genauso wie dein anderer Vorschlag.

Abakus smile

smile

29.05.2011, 23:57

Gast11022013

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Zitat:

Original von Abakus

Deine Kontraktion "läuft" nun in n Komponenten, ggf. machst du das noch anders und sparst zB zunächst eine Komponente ungleich 0 aus und ziehst alle anderen zusammen, und widmest dann noch speziell der letzten Komponente eine weitere Kontraktion. Hier müsstest du dann 2 solche Kontraktionen hintereinander ausführen, aber du hättest die Garantie, dass die 0 nicht auf den Kurven liegt.

Das verstehe ich nicht.
Wieso ist es ausgeschlossen, dass der Nullpunkt auf einer der Kurven liegt, wenn man eine Koponente ungleich 0 ausspart?

Zitat:

Original von Abakus

Oder du hast halt eine andere Idee...

Vielleicht kommt diese Idee ja noch...

30.05.2011, 20:33

Abakus

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wieso ist es ausgeschlossen, dass der Nullpunkt auf einer der Kurven liegt, wenn man eine Koponente ungleich 0 ausspart?

Wenn bei einem Vektor eine Komponente von Null verschieden ist, kann es der Nullvektor ja schon nicht mehr sein.

Abakus smile

smile

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