Bestimmung Multinomialkoeffizient in einer Summe

28.05.2011, 19:16	Spass an Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung Multinomialkoeffizient in einer Summe Meine Frage: Hi! Wir haben auf unserem aktuellen Übungsblatt eine Aufgabe, bei der wir einen quadrierten binomialkoeffizienten in einer Sume bestimmen müssen: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^{2} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: also das einzige, was ich mir vorstellen kann, ist sowas wie eine rekursive Darstellung im Pascalschen Dreieck zu bestimmen. hab in jedem Fall mal die Werte im Pascalschen Dreieck quadriert, und nach Zusammenhängen geschaut, hab bisher allerdings keine entdeckt. hat jemand einen Tipp?
28.05.2011, 19:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutzt man die Identität $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \end{eqnarray}$ , so kann man die Summe auch schreiben als $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\cdot \binom{n}{n-k} \end{eqnarray}$ . In dieser Form ist das lediglich ein Spezialfall der allgemeineren Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \binom{a}{k}\cdot \binom{b}{n-k} \end{eqnarray}$ , für die es ebenfalls einen geschlossenen Ausdruck gibt, der sich z.B. mit kombinatorischen Überlegungen finden lässt. P.S.: Ist vermutlich auch schon mehrfach hier im Board besprochen worden. Mag sein, dass das aber schwer zu finden ist, bei der Fülle an Threads über Binomialkoeffizienten.

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