Steilster Anstieg vom Gradient

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28.05.2011, 19:18	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Steilster Anstieg vom Gradient Meine Frage: hallo liebes forum ich sitze an folgender aufgabe und finde keinen ansatz aufg: sei $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} f:U->\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar, $\begin{eqnarray} x \in U, \vec{\nabla}f(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ zeige das der gradient von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in richtung des steilsten anstiegs von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zeigt: unter allen $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\|v\|\|=1 \end{eqnarray}$ wird die richtungsableitung $\begin{eqnarray} \partial_v f(x) \end{eqnarray}$ genau dann maximal wenn $\begin{eqnarray} v=\frac{\vec{\nabla} f(x)}{\|\|\vec{\nabla} f(x)\|\|} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: ich weis zwar was der gradient is aber wie soll man die ausrichtung davon bestimmen ??
28.05.2011, 21:18	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo El Rey, wir machen demnächst ein privates Forum auf. Guck dir mal Bemerkung 5.11. an, es gilt ja: $\begin{eqnarray} \partial_v(x) = \nabla f(x) \cdot v \end{eqnarray}$ Hilft dir das schon?
28.05.2011, 21:26	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
wie sagt das etwas über den anstieg aus und über die richtung aus ??
28.05.2011, 21:44	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Richtung ist $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Die Logik ist folgende: Vom Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ suchst du dir eine Richtung $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Die Richtungsableitung $\begin{eqnarray} \partial_v f(x) \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt dann den Anstieg von f in Richtung v an. Und dieser Anstieg soll dann maximal sein - klappt ja auch, weil das Ergebnis der Richtungsableitung eine reelle Zahl ist. OK so weit? Nun kannst du ja mal den Betrag über die linke Seite bilden ...
28.05.2011, 23:24	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
oki das hört sich logisch an soweit aber was fürne linke seite ??
29.05.2011, 16:27	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir das vllt mal als gleichung oder so aufschreiben ???
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29.05.2011, 18:19	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, betrachte $\begin{eqnarray} \|\partial_v f(x)\| \end{eqnarray}$ . Dann gibt es da etwas wie Cauchy-Schwarz ...
30.05.2011, 22:44	Sam77	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Steilster Anstieg vom Gradient Seh ich das dann richtig, dass ich dann auf einen Ausdruck komme, der nach a) gleich ist, wenn der f(x) und v linear abhängig sind, damit parallel und damit in eine Richtung zeigen? Wofür brauchte ich denn dann, dass die Norm von v = 1?
30.05.2011, 22:48	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach welchem a)? Und was soll linear abhängig sein? f(x) ist eine reelle Zahl, v ein Vektor? Wenn du die Aufgabe bearbeiten möchtest, dann guck dir mal $\begin{eqnarray} \|\partial_v f(x)\| \end{eqnarray}$ an. Mit Cauchy-Schwarz.
30.05.2011, 23:01	Sam77	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay bevor ich antworte, kann mir jemand sagen wie ich die Funktion schreibe? Ich kann kein Latex und der Formeleditor hat ja nun nicht soo die Auswahl
30.05.2011, 23:24	Sam77	Auf diesen Beitrag antworten »
nagut ich versuchs mal mit dem bescheidenen FOrmeleditor $\begin{eqnarray} \| d_{v}(x)\|=\|\nabla f(x) v\|\leq \|\| \nabla f(x) \|\| \|\|v\|\| \end{eqnarray}$ Da steht ja nun ne Cauchy Schwarz Ungleichung, die wollen wir nun gleich setzen, damit die Richtungsableitung das Maximum ist. Und damit muss doch $\begin{eqnarray} \|\nabla f(x)\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|v\| \end{eqnarray}$ linear abhängig sein.

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