Nachweis dass eine bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist

29.05.2011, 01:10

Lunatikz

Nachweis dass eine bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist

Meine Frage:
Hi,

Also die Aufgabenstellung lautet:
Es seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zum Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \gamma > 0 \end{eqnarray*}$ unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen sowie n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass gegeben $\begin{eqnarray*} \{X+Y=n\} \end{eqnarray*}$ die bedingte Verteilung X eine Binomialverteilung ist
und berechnen sie die Parameter

So beim letzten Schritt komme ich nicht weiter, ich weiss halt nciht wie ich das so umformen kann, dass ich nachweisen kann, dass die bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist, bzw. ich den Term

Meine Ideen:
Nun das was ich bereits habe:
$\begin{eqnarray*} P (X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} * e^{- \lambda} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P (Y = k) = \frac{\gamma^k}{k!} * e^{- \gamma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P (X + Y = n) = \sum\limits_{i=0}^n \frac{\lambda^i}{i!} * e^{- \lambda} * \frac{\gamma^{n-i}}{(n-i)!} * e^{- \gamma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P (X = k \cap X + Y = n) = \frac{\lambda^k}{k!} * e^{- \lambda} * \frac{\gamma^{n-k}}{(n-k)!} * e^{- \gamma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(X = k | X + Y = n) = \frac{P(X = k \cap X + Y = n)}{P (X + Y = n)} = \frac{\frac{\lambda^k}{k!} * e^{- \lambda} * \frac{\gamma^{n-k}}{(n-k)!} * e^{- \gamma}}{\sum\limits_{i=0}^n \frac{\lambda^i}{i!} * e^{- \lambda} * \frac{\gamma^{n-i}}{(n-i)!} * e^{- \gamma}} = \frac{\frac{\lambda^k}{k!} * \frac{\gamma^{n-k}}{(n-k)!} }{\sum\limits_{i=0}^n \frac{\lambda^i \gamma^{n-i}}{i! (n-i)!} } \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 01:23

Math1986

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RE: Nachweis dass eine bedingte Verteilung eine Binomialverteilung ist
Das geht leider in die falsche Richtung, sagt dir die Faltung von Zufallsvariablen was?

$\begin{eqnarray*} P (X + Y = n) = \sum_{k=0}^n P(X=k)\cdot P(Y=n-k) \end{eqnarray*}$

Hier entsprechend einsetzen und umformen

29.05.2011, 09:54

HAL 9000

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@Math1986

Lies dir mal den Beitrag von Lunatikz ordentlich durch. Die Faltungsformel ist nicht das Problem, da ist alles korrekt eingesetzt worden. Es fehlt lediglich noch die Idee zur Vereinfachung im Nenner der bedingten Wahrscheinlichkeit!

@Lunatikz

Erweitere im letzten Term deiner Umformung Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ und denke daran, dass ja

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{i!\cdot (n-i)!} = \binom{n}{i} \end{eqnarray*}$

gilt. Und dann gibt es ja da noch den binomischen Satz.

29.05.2011, 21:34

Lunatikz

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Hi,

erstmal danke für eure Antworten. Ich konnte die Umformen machen wie Hal sie beschrieben hat, allerdings weiss ich leider immer noch nicht, wie ich den Term so umformen kann, dass es wie die Def. von Binomialverteilung ausschaut.
Ich hab zudem das Semester gut 3-4 wochen zu spät begonnen, und daher fehlen mir einige Grundlagen,sodass ich scheinbar leichte Zusammenhänge noch nicht blicke..:/

Also ich hab jetzt folgendes:
... = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\lambda^k\mu^{n-k}*n!}{k!(n-k)!}}{\sum\limits_{i=0}^n \frac{\lambda^i\mu^{n-i}*n!}{i!(n-i)!}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{n}{k} \lambda^k\mu^{n-k}}{\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}\lambda^i\mu^{n-i}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{n}{k}\lambda^k\mu^{n-k}}{(\mu + \lambda)^n} \end{eqnarray*}$

und ich wills auf die form von...

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

bringen. Bin für jede Hilfe dankbar smile

29.05.2011, 21:42

Math1986

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Zitat:

Original von Lunatikz
= $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{n}{k}\lambda^k\mu^{n-k}}{(\mu + \lambda)^n} \end{eqnarray*}$

und ich wills auf die form von...

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

bringen. Bin für jede Hilfe dankbar smile

Ab hier hast dus doch schon fast smile

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{n}{k}\lambda^k\mu^{n-k}}{(\mu + \lambda)^n}=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{\mu+\lambda}\right)^k\left(\frac{\mu}{\mu +\lambda}\right)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Es ist nun
$\begin{eqnarray*} p:=\frac{\lambda}{\mu+\lambda} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-p:=\frac{\mu}{\mu+\lambda} \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 21:59

Lunatikz

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Super vielen Dank, Math...
Die Umformung kam mir leider nicht in den Sinn... :/
Aber vielen Dank, der Sonntag ist gerettet Augenzwinkern

Grüße,
Lunatikz

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