Fixpunktgleichung eine Lösung

11.12.2006, 21:30	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktgleichung eine Lösung Hallo. Ich soll mal wieder was beweisen, habe aber überhaupt keine Ahnung wo ich anfangen soll. Die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} f:[a,b] -> [a,b] \end{eqnarray}$ stetig. Man zeige, dass die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ eine Lösung $\begin{eqnarray} x \in [a,b] \end{eqnarray}$ besitzt. Was soll ich machen??? Diese Sache mit Fixpunkt wird doch für Iterationsverfahren verwendet. D.h. muss ich jetzt zeigen, dass ich wenn ich sowohl von links als auch von rechts mich an eine Lösung x nähere und beide Seiten den gleichen Wert haben??? Vielen dank für eure Hinweise und Tipps! Gruß hmer
11.12.2006, 21:45	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktgleichung eine Lösung Welche Sätze kennst du über Stetigkeit oder anders, welche Eigenschaften haben stetige Funktionen ? Darüber müsstest du nachdenken. Grüße Abakus
12.12.2006, 09:08	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Abakus! Gut ich probiere mal etwas zusammenzufassen. Ich denke da muss man den Zwischenwertsatz oder ähnliches verwenden. Den haben wir schon behandelt. Da die Funktion f stetig ist, ist auch eine Funktion $\begin{eqnarray} h := f(x) - x \end{eqnarray}$ stetig. D.h. ich hab jetzt eine Funktion, die eine Nullstelle haben müsste! Denn es ist ja $\begin{eqnarray} f(a) \geq a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(b) \leq b \end{eqnarray}$ , weil die Funktion ja das Intervall auf das Intervall wieder abbildet. D.h. ich kann also sagen, dass meine Funktion für $\begin{eqnarray} h(a) \geq 0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} h(b) \leq 0 \end{eqnarray}$ ist. Der Zwischenwertsatz besagt jetzt, dass die Funktion h alle Werte zwischen a und b annimmt, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray} x \in [a,b] \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} h(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Dieser Punkt x* ist doch dann auch mein Fixpunkt, d.h. es existiert ein Fixpunkt. Aber das ist irgendwie holprig...kann ich denn so einfach mit der Funktion h argumentieren? Viele Grüße hmer
12.12.2006, 09:11	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich find deine Argumentation gut.
12.12.2006, 17:42	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgezeichnete Argumentation . Der Zwischenwertsatz garantiert allerdings, dass alle Werte zwischen h(a) und h(b) angenommen werden. Grüße Abakus
12.12.2006, 18:19	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
@abakus: Will heißen, dass ich mir noch über die Eindeutigkeit gedanken machen müsste...oder?
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12.12.2006, 18:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, musst du nicht, und kannst du auch gar nicht: In dieser Allgemeinheit der Problemstellung sind durchaus mehrere Fixpunkte möglich. Denk nur mal an die Identität $\begin{eqnarray} f(x):=x \end{eqnarray}$ an sich. EDIT: Schreibfehler...

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