DGL 1.Ordnung

29.05.2011, 15:36	Karla	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 1.Ordnung Hallo ich möchte folgende DGL lösen: $\begin{eqnarray} y'= -\frac{x}{y} \end{eqnarray}$ Mein Weg: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} Kehrwert \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x} \Rightarrow<br /> Substitution: u = \frac{y}{x} \Rightarrow y=ux \Rightarrow y'= u+ \frac{du}{dx} x \Rightarrow <br /> -\frac{1}{u}= u+ \frac{du}{dx} x \Rightarrow -\frac{du}{dx} x = u + \frac{1}{u} \Rightarrow <br /> \int_a^b \! \frac{u}{u^{2}+1} \, dx \Rightarrow<br /> ln\| u^{2} +1\| = -2* ln \|x\| + 2ln \|c\| \Rightarrow<br /> u^{2} +1 = \frac{c}{x^{2} } \Rightarrow u= \sqrt{\frac{c}{x^{2} }-1 } \Rightarrow<br /> y = ux \Rightarrow y(x) = x\sqrt{\frac{c}{x^{2} }-1 } \end{eqnarray}$ Lösung laut Buch: $\begin{eqnarray} y(x) = \frac{c}{\|x\| } \end{eqnarray}$ ...achso am Ende wurde übrigens der Ln durch die e-Fkt aufgelöst sollte ich vielleicht noch sagen.. wo liegt mein Fehler? Danke!
29.05.2011, 15:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen von der Umständlichkeit sowie unvorsichtigem Wurzelziehen ist dein Weg im Grunde genommen richtig. Die Schnellvariante $\begin{eqnarray} (y^2)' = 2yy' = -2x \;\Rightarrow\; y^2 = C-x^2 \;\Rightarrow\; y = \pm\sqrt{C-x^2} \end{eqnarray}$ führt ebenfalls auf deine Lösung, einen Halbkreis.
29.05.2011, 15:58	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Karla! Deine Lösung ist richtig! $\begin{eqnarray} y\,=\,x \cdot \sqrt{\frac{c}{x^2}-1} \end{eqnarray}$ kannst du noch etwas vereinfachen: $\begin{eqnarray} y\,=\,\sqrt{c-x^2} \end{eqnarray}$ indem du das x in die Wurzel ziehst. Nebenbei gemerkt: Du kommst viel leichter zum ergebnis, indem du gleich zu Beginn eine "Trennung der Variablen" machst, also dx und x auf eine Seite, genauso wie y und dy. Dann hat du deine Lösung in 2 Schritten. Bei Bedarf kann ich dir das mal zeigen. Gruß Johnsen

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