Lösung einer Exponentialgleichung |
| 29.05.2011, 16:32 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Lösung einer Exponentialgleichung Hallo! Im Mathematikbuch habe ich ein Problem bei einer Aufgabe zur Vorbereitung fürs Abitur. Gegeben ist eine Funktion f(x)= (0,14*x^2-10)*e^(-0,007*x^2). Diese Funktion beschreibt den Querschnitt eines Bewässerungskanals. Eine Einheit (x- und y-Achse) beschreibt einen Meter. Wenn man die Funktion plottet kann man sich das auch einigermaßen vorstellen. Die x-Achse liegt auf dem Niveau der Erdoberfläche. Nun die Aufgabe: Der Wasserstand in dem Bewässerungskanal soll höchstens 14 Meter betragen. Daher werden im Deich Abflussrohre angebracht, die überschüssiges Wasser nach außen leiten. "Wie groß darf der Winkel höchstens sein, um den diese Rohre gegen die Horizontale geneigt werden"? Meine Ideen: Meine Idee war, dass ich ersteinmal das Symmetrieverhalten der Funktion betrachtet habe: Sie ist Achsensymmetrisch zur y-Achse, das erkennt man denke ich sofort am Funktionsterm. Also betrachte ich die Funktion schonmal von vorneherein nur noch im Positiven Bereich. Ich habe dann f(0) bestimmt, um herauszufinden, wie tief unter der Erdoberfläche die tiefste Stelle des Bewässerungskanals liegt. Da komm ich auf -10 Meter. Das bedeutet: Bei y=4 (Also bei einer Höhe von 4 Metern über der Erdoberfläche) muss ein Abflussrohr angebracht werden, damit es das Wasser nach außen leiten kann. Mein Problem (Und ich schäme mich ein wenig dafür): Ich bin nicht in der Lage, den Funktionsterm, den ich mit 4 gleichgesetzt habe, nach x aufzulösen. Momentaner Stand: Ln(4)-Ln(0,14*x^2-10)=-0,007*x^2 Oder einfach mim Taschenrechner ausprobieren? Erscheint mir nicht sehr elegant. Danke für alle Antworten 
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| 29.05.2011, 17:35 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gl. ist nicht im Rahmen elementarer Funktionen algebraisch lösbar. Aber zur Aufgabenstellung! Da ist nach einem Winkel gefragt. Hast du eine Vorstellung, wie das näherungsweise graphisch zu lösen ist? Poste mal eine Skizze! |
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| 29.05.2011, 17:52 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Soll ich also einfach meine Finger im Taschenrechner wund tippen, bis es einigermaßen passt? ;-) Puh, ich weiß leider nicht, wie ich dazu eine Skizze erstellen kann. Im Buch ist eine Skizze, die das ganze veranschaulicht. Gibt es irgend eine Möglichkeit, geplottete Graphen (Ich benutze Geonext) als "Bild" herauszugeben) Gefragt ist im Prinzip Folgendes (Ich denke, dass ich die Aufgabe auch einigermaßen verstanden habe): "Wie kann man vom Punkt (Den ich durch die Gleichung herausfinden wollte) aus eine Tangente an den Graphen der Funktion f(x) legen, die den Graphen rechts vom Schnittpunkt berührt". Ich les das so: Wenn man das Rohr zu "steil" legt, versinkt das Wasser im Boden, und kann nicht abfließen. Man muss es also (Denn das Rohr wird repräsentiert von einer Geraden) so an den Graphen legen, dass das Ende wieder aus dem Erdboden "herauslukt" und somit Abfluss für das Wasser möglich ist. Die weitere Lösung hab ich noch gar nicht ausprobiert, ich tipp jetzt erstmal meine Finger wund und löse den Rest, wenn ich Schwierigkeiten beim weiteren Verlauf habe frage ich einfach nochmal ;-P Liebe Grüße Leon |
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| 29.05.2011, 18:02 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Fang mal bei x=12,5476 an. Hast es einfach glücklich geraten. Viele Taschenrechner haben aber auch eine solve-Funktion (Newton-Vrfahren).
Wenn du registriert bist, kannst du jpg-Bilder mit dem Button Dateianhänge zu deinem Beitrag hochladen. Edit: Es geht sogar ohne Registrierung, wie ich gerade merke.
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| 29.05.2011, 18:44 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Newton-Verfahren also. Interessanterweise ist das tatsächlich Teil unseres Lehrplanes, aus Zeitmangel war es aber das einzige Kapitel, das wir bisher übersprungen haben (Kein Witz) - vielleicht sollte ich mir das mal selbst reinziehen, wenn das so wertvoll ist, die Situation, dass ich einfach nicht raffte, wie man nach x auflöst, hatte ich nämlich gestern bei einer anderen Aufgabe schonmal. Da hab ich dann eben "geraten" bis es einigermaßen gepasst hat ^^ So, nun zur Zeichnung: Das war mein schönster Versuch in Paint. Meine Maus ist leider eine Rollmaus ohne Unterlage, verstaubt und wacklig und hängt öfters. Und ich bin auch nicht sonderlich künstlerisch begabt. Die obere Wellenlinie repräsentiert das Wasser in 14 Meter über dem Grund des Kanals und 4 Meter über der Erdoberfläche. Die Doppellinie rechts ist das Abflussrohr. Es darf nicht beliebig steil gewählt werden, weil das Wasser sonst "im Erdboden" versinkt, das überschüssig ist. Es soll aber oberflächlich abfließen. (Nicht vergessen: Was wir sehen ist ein Flussquerschnitt!) Gesucht ist der maximale Winkel gegen die Horizontale, also eine Tangente an den Graphen gelegt, vom Punkt aus, den du mir gegeben hast. |
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| 29.05.2011, 18:49 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hör mal, du hast doch wahrscheinlich einen Bleistift und einen Scanner oder Fotoapparat und kannst jpg oder pdf hochladen. Versuchs nochmal und zeichne irgenwo einen Winkel ein. |
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| 29.05.2011, 19:03 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, ich habe keinen Scanner, einen funktionierenden Fotoapparat (tatsächlich!) auch nicht. (Ich bin kein Mensch technischen Geräts, ich hoffe das wird mir verziehen.) Ich kann nur versuchen, dir das ganze möglichst plastisch zu erklären. Was du in meiner Zeichnung siehst ist ein Flusquerschnitt. Die groooße Welle ist die e-Funktion. Die doppelte Linie, die rechts durch die e-Funktion stößt, ist ein Abflusrohr, dass in der Mathematik von einer Geraden durch den Punkt (12,5476/4) repräsentiert wird. Durch dieses Rohr soll Wasser oberflächlich abfließen, sollte zu viel davon da sein. In meiner Zeichnung wäre der Winkel gleich 0°, weil das Rohr nicht gegen die Horizontale geneigt ist. Es könnte aber (Beispiel) auch um 90° gegen die Horizontale geneigt sein, so würde das Wasser senkrecht (nach unten) in den Boden fließen. Das ist nicht erwünscht. Deshalb soll ich den Winkel berechnen, bei dem das Rohr gerade so noch ein zweites Mal durch die e-Funktion stößt, damit das Wasser wieder an die Erdoberfläche gelangt. Dieser Winkel ist erreicht, wenn das Rohr (Die Gerade) die e-Funktion rechts vom oben genannten Schnittpunkt tangiert. Und das rechne ich jetzt gleich mal aus
Viele Grüße (Und danke für die Mühen, wirklich! 
)Leon. |
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| 29.05.2011, 19:44 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe nun den Ansatz für die Tangente benutzt: y=mx+t Wenn ich die Informationen über den Schnittpunkt einsetze, erhalte ich das t=4-12,5476*m ist. Daraus folgt: mx+4-12,5476*m=f(x) Jenachdem, wo dieser Berührpunkt an f(x) gelegt wird, hat f(x) dort selbstverständlich die Steigung ihrer Ableitung. Für m habe ich also die Ableitung der Funktion f(x) eingefügt, weil für dasjenige x0, für das die beiden Funktionen sich berühren, die Steigung denjenigen Wert annimmt, den die Ableitung von f(x) an derjenigen Stelle x0 besitzt. Meinst du, dass der Ansatz richtig ist? Im Anschlus würde man den Wert der Ableitung an der Stelle x0 bestimmen. Dieser Wert entspräche dem Tangenz des gesuchten Winkels und die Aufgabe wäre gelöst. Falls mein Ansatz richtig ist:: Alles andere interessiert mich gar nicht mehr. Ich halte die Aufgabe mittlerweile für unverschämt, weil sie gemessen an dem, was dieses Jahr im Matheabitur des Jahrgangs über mir verlangt wurde, echt höllenschwer ist und außerdem mit Ableitungen und Gleichungen arbeitet, deren Auflösung man eigentlich niemandem zumuten kann. Das Ergebnis der Aufgabe ist übrigens hinten im Buch angegeben, leider aber ohne Lösungsweg - was mir wenig bringt. Danke für deine Mühen, ich lern mal weiter ;-) Viele Grüße Leon |
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| 29.05.2011, 21:25 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Leo, ich kann deinen Ärger nachvollziehen. Nachdem ich die Aufgabe jetzt auch verstanden habe, sollte sie nicht lauten: "Wie groß darf der Winkel höchstens sein, um den diese Rohre gegen die Horizontale geneigt werden"? sondern In welchem Winkel müssen die waagerechten Überlaufrohre abknicken, damit sie außen am Deich auf kürzestem Wege nach unten führen? Dieses Verständnis führt auch zu einer anderen Lösung für x0, nämlich Falls du dich über das Bewältigen der Schulmathematik hinaus für Mathematik interessierst, rate ich dir, einmal die Freeware Scilab zu inspizieren. Damit kannst du dann auch Zeichnungen wie die beigefügte anfertigen. Der Code dafür ist function y=f(x) //Funktion, deren Nullstelle gesucht ist y= (0.14*x^2-10).*exp(-0.007*x^2)-4 endfunction xa=20; //Anfangsschätzung für Newton-Verfahren von fsolve(s.u.) [x0, info]=fsolve(xa,f) a=40; x=-a:0.01:a; //x-Bereich des Graphen y= (0.14*x^2-10).*exp(-0.007*x^2); xdel(); plot(x,y,[-x0 x0],[4,4],'o-') ca=gca(); ca.box='off'; ca.x_location='origin'; ca.y_location='origin'; Aber das ist sicher kein gutes Beispiel für einen 1. Versuch mit Scilab. Die Gleichung der Tangente im Ablaufrohr-Knickpunkt (17,0858;4) ist |
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| 29.05.2011, 22:14 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Schade, nein, das ist nicht die Lösung der Aufgabe
Die Lösung sieht in etwa so aus (Wenn ich mal deine Zeichnung missbrauchen darf) wie das, was ich im folgenden anhänge. Die schwarze Linie ist eine Gerade, welche den Graphen der Funktion f(x) im Punkt x=12,55... schneidet und im Punkt x=25,22... berührt. Über dieses "Rohr" kann Wasser nach außen abfließen. Wäre es steiler geneigt, würde das Wasser im Erdboden versinken. Die Tangente ist der maximal steilste Winkel, bei dem das Rohr noch irgendwie funktionsfähig sein könnte. Besser wäre natürlich eine flachere Neigung. Ich kann jetzt im Nachhinein nicht mehr genau nachvollziehen, was dazu geführt hat, dass du meine Erklärung nicht verstanden hast. Wahrscheinlich hat wirklich die anschauliche Skizze gefehlt, in meinem Schulbuch war die nämlich vorhanden ;-) Ich interessiere mich übrigens wirklich für Mathematik, um ehrlich zu sein sogar für ein Mathematikstudium, wobei ich aber noch gut ein Jahr Zeit habe, das zu entscheiden, ich bin erst 11te Klasse ;-) Was mich an der Aufgabe ärgert, ist vor Allem, dass sie den Abituraufgaben eigentlich gar nicht entspricht. Die von diesem Jahr findest du unter folgender Seite: http://www.isb.bayern.de/isb/download.as...5b683833262eb3a Ich kann nicht alles lösen, weil mir in der Analysis noch einiges an Stoff fehlt, aber für mich macht es zumindest den Eindruck, als ob man die meisten Aufgaben mit ein wenig Verstand durch relativ wenige Rechenoperationen lösen kann. So eine Rumrechnerei wie bei der Übungsaufgabe von oben, de explizit als "Aufgabe zur Vorbereitung für das Abitur" im Schulbuch vermerkt ist, würden die sich niemals trauen. Alleine die Ableitung zu bilden ist eine Tortur
Liebe Grüße und danke für den Programmtipp! Leon |
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| 29.05.2011, 22:41 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit deiner Skizze ist es natürlich etwas ganz anderes! Ich habe hier schon viele Fragen beantwortet, die gar nicht gestellt waren. Wenn du Lust auf Mathe über die Schule hinaus hast, kann ich dich darin nur bestärken. Ist 'ne tolle Sache, und seinen Lebensunterhalt kann man damit auch sehr gut bestreiten. Noch eine Bemerkung zu Scilab: Das ist kein Spielzeug wie andere Software, die in Schulen verwendet wird. Die kommerzielle Alternative heißt Matlab. Die gibts als Student Edition für unter 100 €. Bis auf die Algebra Toolbox, die Scilab nicht hat, ist Matlab, jedenfalls für deine vorläufigen Zwecke, kaum besser. |
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| 29.05.2011, 23:31 | L.L. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Oh weh, das kann ich mir vorstellen :P Da gehört dann aber auch viel Idealismus dazu, wenn man nach so vielen semierfolgreichen Beiträgen im Mathematikforum immer noch Stunden für die Aufgaben anderer investiert! Danke nochmal für den Softwaretipp ;-) Wenn ich mal Zeit hab les ich mich da mal richtig ein, momentan geht in der Schule aber alles drunter und drüber. Die Gerüchte über das G8 sind nämlich kein Witz, wir habens wirklich nicht leicht
Viele Grüße Leon |
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| 30.05.2011, 08:27 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier kommt noch der nachgebesserte Code, falls du später nochmal nachschauen willst. function y=f(x) //Funktion des Bewässerungskanals y= (0.14*x^2-10).*exp(-0.007*x^2) endfunction function y_=f_(x)//Ableitung von f y_=(0.28*x)/exp(0.007*x^2) - (0.014*x*(0.14*x^2 - 10))/exp(0.007*x^2) endfunction function d=def1(x) //Defekt zu x1=Abflusspunkt d=f(x)-4 endfunction function d=def2(x) //Defekt zu x2=Tangentenpunkt d=(f(x)-4)/(x-x1)-f_(x) endfunction x1a=10; //Anfangsschätzung für Newton-Verfahren fsolve(s.u.) x2a=30; //Anfangsschätzung für Newton-Verfahren fsolve(s.u.) [x1, v,info]=fsolve(x1a,def1) [x2,v,info]=fsolve(x2a,def2) a=40; x=-a:0.01:a; //x-Bereich des Graphen y= (0.14*x^2-10).*exp(-0.007*x^2); xdel(); plot(x,y,[-x1,x1],[4,4],'o-',[x1,x2],[4,f(x2)],'+--') ca=gca(); ca.box='off'; ca.x_location='origin'; ca.y_location='origin'; |
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