unbestimmtes Integral berechnen

29.05.2011, 16:39

chillerStudent

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unbestimmtes Integral berechnen

Meine Frage:
Guten Tag,

ich muss von der folgenden Funktion das unbestimmte Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{e^{x} -1} \, dx \end{eqnarray*}$

Hinweis: $\begin{eqnarray*} t=e^x-1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} e^x=t+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(t+1) -1} \, dx \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Einsetzung? Mit welcher Regel kann ich hier weiter machen?

29.05.2011, 16:55

Johnsen

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Hallo Chillerstudent!

Du kannst auch gleich den ganzen Nenner ersetzen mit t, denn er wurde ja so definiert, dass der ganze Nenner sofort erstezt wird, ohne erst nochmals umstellen zu müssen. das dx ist aber nicht richtig im Integral, es müsste ja durch die Substitution ein "dt" werden.

Hier also der Fahrplan:

1) Du substituierst $\begin{eqnarray*} t\,:=\,e^x-1 \end{eqnarray*}$
2) Ersetze auch das dx durch dt! (ich denke du kennst das Substitutionsverfahren, sonnst müsstest du diese Aufgabe nicht lösen!)
3) Ersetze in deinem Ausdruck für dt das e^x mit t+1 (darfst du ja, hast du ja auch umgeformt)
4) Eine Partialbruchzerlegung bringt dich ans Ziel!
5) Resubstitution!

Gruß

Johnsen

29.05.2011, 17:02

chillerStudent

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Erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort Johnsen.

Bin jetzt so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{t} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =log(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =log(e^x-1) \end{eqnarray*}$

??

Was heißt dieser Satz nummer 3 in deinem Fahrplan?

29.05.2011, 17:16

Johnsen

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Warum ersetzt du denn dx einfach so durch dt? da gibt es schon eine Regel dafür wie man das macht!

Ob deine Antwort richtig ist, kannst du ja daduch überprüfen, indem du diese ableitest und dann schaust, ob das herauskommt, was vorher unterm Integral stand (HDI).

Also mein erster Tipp: Mach dich mit der Substitutionsmethode beim Integrieren vertraut! Lies nochmal wie das geht und wie man das dx ersetzt!

Du hast ja:

$\begin{eqnarray*} t\,:=\,e^x-1 \end{eqnarray*}$

Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

Johnsen

29.05.2011, 17:24

chillerStudent

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asoo ok.

$\begin{eqnarray*} dt=e^xdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{e^x} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{t+1} =dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{1}{t(t+1)} \, dt \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass man das jetzt mit Partialbruchzerlegung berechnet. Aber gibt es da einen einfach trick? Bei sowas wie x²+1 geht es ja noch im Nenner.

Nun hat mir ein Programm geholfen: Ich wäre jetzt nicht selbstständig drauf gekommen.

$\begin{eqnarray*} \int\! (\frac{1}{(t+1)} - \frac{1}{t}) \, dt \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 17:28

Johnsen

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Ja soweit richtig!

Und man kann es auch ohne fremde Hilfe leicht berechnen die Partialbruchzerlegung!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \,=\, \frac{A}{t} \,+\, \frac{B}{t+1} \end{eqnarray*}$

Bilde jetzt auf der rechten Seite den Hauptnenner und mach dann einen Koeffizientenvergleich im Zähler!

Wenn du nur am ergebnis deines Integrals interessiert bist, dann hast du ja jetzt eine Differenz darinstehen. Damit darfst du das Integral aufteilen und kannst leicht die Stammfunktionen der einzelnen Integrale lösen! Dann noch resubstitution!

Gruß

Johnsen

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29.05.2011, 17:34

chillerStudent

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \,=\, \frac{A(t+1)}{t(t+1)} \,+\, \frac{t*B}{t(t+1)} \end{eqnarray*}$

D.h

A+B = 1 ?

was kann ich mit der 1 machen?

29.05.2011, 17:37

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \,=\, \frac{A(t+1)+ Bt}{t(t+1)}\,=\,\frac{At+A+BT}{t(t+1)}\,=\, \frac{t(A+B)+A}{t(t+1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt schau doch mal in den Zähler, welche Potenzen von t kommen vor? Und was muss dann A sein? Du bekommst dann 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten A und B. Diese Lösen und fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

Johnsen

29.05.2011, 17:43

chillerStudent

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oh man , sry, ich weiß nicht was ich mit dem Term anfangen soll

$\begin{eqnarray*} \frac{t(A+B)+A}{t(t+1)} \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 17:47

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} \frac{t(A+B)+A}{t(t+1)}\,=\,\frac{1}{t(t+1)} \end{eqnarray*}$

diese beiden Ausdrücke sollen gleich werden, das denke ich ist klar!

Der Nenner ist schon gleich, sehr gut! Also kümmern wir uns nun um den Zähler! Ich habe der Einfachkeit halber t ausgeklammert. Wie oft siehst du denn, dass die Potenz t im Zähler von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \end{eqnarray*}$ vorkommt? Diese Zahl muss also (A+B) sein! Wie oft steht eine einfache Zahl im Zähler? Das muss dann A sein.

hier nochmal:

2x-3 = x(A+B)+B

Was muss also (A+B) sein, und was B?? Und was damit A und B einzeln?

29.05.2011, 17:54

chillerStudent

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A muss 1 sein B muss -1 sein und (A+B) muss 0 sein

29.05.2011, 17:55

Johnsen

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ja genau, und damit kommt man genau zu der Form, die dir deine "Hilfe" auch ausgespuckt hat!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \,=\, \frac{A}{t} \,+\, \frac{B}{t+1} \end{eqnarray*}$

Mit A=1 und B=-1:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(t+1)} \,=\, \frac{1}{t} \,-\, \frac{1}{t+1} \end{eqnarray*}$

Nun dann zurück zum Integral. schon gelöst und resubstituiert?

Gruß

Johnsen

29.05.2011, 18:01

chillerStudent

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Nur noch ein kleine Zwischenfrage:

Ändert sich was am Ergebnis, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \,-\, \frac{1}{t+1} \end{eqnarray*}$
das hier schreibe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t+1}-\frac{1}{t} \, \end{eqnarray*}$

weil meine "Hilfe" das so anzeigt

29.05.2011, 18:02

Johnsen

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Ja das ändert schon was, du hast ein - zeichen mehr vorm Integral stehen, da du ja einma (-1) im Endeffekt ausgeklammtert hast!

29.05.2011, 18:11

chillerStudent

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Und was ist jetzt richtig?!

Egal. Ich mach mit deinem Ergebnissen weiter:

$\begin{eqnarray*} \int\! (\frac{1}{(t+1)} - \frac{1}{t}) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{t} \, dt - \int \! \frac{1}{t+1} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log(e^x-1)-log(e^x) \end{eqnarray*}$

29.05.2011, 18:24

chillerStudent

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Zitat:

Original von chillerStudent
Nur noch ein kleine Zwischenfrage:

Ändert sich was am Ergebnis, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \,-\, \frac{1}{t+1} \end{eqnarray*}$
das hier schreibe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t+1}-\frac{1}{t} \, \end{eqnarray*}$

weil meine "Hilfe" das so anzeigt

Sorry, hatte das Ergebnis von meiner "Hilfe" falsch abgelesen. Das Ergebnis von Johnsen stimmt!

29.05.2011, 18:33

Johnsen

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Was ist denn ln(e^x)? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Probe kannst du ja dein Ergebnis einmal ableiten, dann siehst du ob du richtig gerechnet hast!

29.05.2011, 18:53

chillerStudent

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Danke.
Also:

$\begin{eqnarray*} log(e^x-1)-x \end{eqnarray*}$

hab jetzt keine log gesetzt für log(e^x-1) gefunden.

29.05.2011, 19:03

Johnsen

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ja das ist die richtige Antwort, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left (log(e^x-1)-x \right ) '\,=\, \frac{e^x}{e^x-1}-1\,=\, \frac{e^x}{e^x-1}-\frac{e^x-1}{e^x-1}\,=\,\frac{e^x-e^x+1}{e^x-1}\,=\, \frac{1}{e^x-1} \end{eqnarray*}$

und genau das soll ja gelten! Freude

Freude

Gut gemacht und auch noch die Partialbruchzerlegung "gelernt" ;-)

Schönen Abend dir noch!

Gruß

Johnsen

29.05.2011, 19:06

chillerStudent

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Vielen Dank Johnsen. Dir auch schönen Tag!!

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