Fourierreihe bestimmen

29.05.2011, 16:46

cHilLz0Ne

Fourierreihe bestimmen

Hallo Leute,

ich soll in meiner Hausübung eine Fourierreihe bestimmen. Dabei habe ich noch ein paar Schwierigkeiten.

Die Aufgabe:
Ich habe eine Funktion f gegeben, die die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} g:\left[-\pi ,\pi \right] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
g(x) = 2 für $\begin{eqnarray*} | x| \leq \pi /2 \end{eqnarray*}$
und
g(x)=1 für $\begin{eqnarray*} \pi /2<| x| \leq \pi \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz zur Bestimmung der Fourierreihe:

Es ist eine gerade Funktion, daher ist $\begin{eqnarray*} b_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Bestimmung von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2}{\pi } \int_0^\frac{\pi }{2} \! 2\cos(nx) \, dx +\int_\frac{\pi }{2}^\pi \! \cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\pi } \left(\left[\frac{2}{n}\sin(nx) \right]^{\frac{\pi }{2} }_{0}+\left[\frac{1}{n}\sin(nx) \right] ^{\pi }_{\frac{\pi }{2} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\pi } \left( \frac{2}{n} \sin(\frac{\pi }{2}n )- \sin(\frac{\pi }{2}n)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{2}{\pi n} \sin(\frac{\pi /2}{n} ) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht sicher, ob das bis hierhin stimmt.
Mein Problem ist jetzt, dass ich es nicht schaffe, den Sinus anders darzustellen. Für gerade n ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ Null. Das ist mi klar. Nur ist der Sinus Ausdruck für n=1,5,9,13,... = 1 und für
n = 3,7,11,... = -1

Vielleicht kann mir jemand helfen. Eventuell habe ich vorher auch schon einen Fehler gemacht, da wir in unserem Skript eine etwas andere Darstellung zur Bestimmung der Koeffizienten bezüglich der Periode haben, wie in den meisten Büchern.

29.05.2011, 17:10

Lampe16

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Damit du dein Ergebnis schnell prüfen kannst, hier das Sprungstellenverfahren (Abschn. 6.3.7), das für Treppenkurven und Polygonzüge ohne Integration auskommt.

31.05.2011, 16:36

cHilLz0Ne

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Ich habe mir das mal angeschaut, aber irgendwie hilft mir das auch nicht viel weiter.

Ich kann machen was ich will. Am Ende läuft es immer darauf hinaus, dass an = 0 ist. Da bn bei einer geraden Funktion sowieso gleich 0 hab ich dann eine absolute Mistreihe raus, die nicht stimmen kann...

Entschuldigt bitte, wenn das alles etwas konfus ist, aber das will alles nicht so richtig in meinen Schädel...

31.05.2011, 17:00

Lampe16

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne
Was genau ist eigentlich mit $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodischer Fortsetzung gemeint?

Der Begriff dient hier nur zur Formulierung der Aufgabe. Die zu untersuchende Funktion ist zunächst nur im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi\;\;\pi] \end{eqnarray*}$ angegeben. Periodisch fortsetzen heißt: Derselbe Verlauf soll immer wieder davor und dahinter gehängt werden, so dass eine periodische Funktion entsteht.
Zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten genügen die Werte in dem gegebenen Intervall, weil es genau eine Periode umfasst.

31.05.2011, 17:19

cHilLz0Ne

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Ok dann habe ich das soweit doch richtig verstanden.
Mein Problem besteht jetzt immer noch darin, dass ich für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ folgendes raushabe:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2}{\pi n } *\sin(\frac{\pi }{2} n) \end{eqnarray*}$
Der Sinus Ausdruck wird für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ 0,
für $\begin{eqnarray*} n=1,5,9,11 \end{eqnarray*}$ positiv
und für $\begin{eqnarray*} n=3,7,13 \end{eqnarray*}$ negativ.

Das es für gerade n 0 wird ist ja in Ordnung. Aber innerhalb der Menge der Ungeraden Zahlen alterniert der Ausdruck. Das ist mir so noch nie untergekommen. Oder ich habe einen Fehler gemacht.

31.05.2011, 18:36

Lampe16

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Überprüfe nochmal deinen Ansatz. M. E. müsste er lauten:
$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2}{2\pi }\left[ \int_{-\pi}^{-\pi/2}\! \cos(nx) \, \mathrm{d}x +\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\! 2\cos(nx) \, \mathrm{d}x +\int_{\pi/2}^{\pi}\! \cos(nx) \, \mathrm{d}x \right] \end{eqnarray*}$

Der 1. und 3. Summand haben wegen Symmetrie denselben Wert.

Edit
Dein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist richtig. Nur die erste Zeile des die Symmetrie nutzenden Ansatzes hat Mängel, und die hatten mich gleich wegschauen lassen.

Ferner rechne ich $\begin{eqnarray*} a_0=3 \end{eqnarray*}$ . Hier ist es einfacher, $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ als doppelten Mittelwert aus der Fläche unter der Kurve zu berechnen, als den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ für n gegen null zu bilden.

11.07.2011, 20:34

Lampe16

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Noch ein Nachtrag zum Thread als Dateianhang!

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