Lineare Abbildung

29.05.2011, 17:42	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Meine Frage: [attach]19867[/attach] Also p(t) wird abgebildet auf p(t+1) aber wie verknüpfte ich es mit der kanonischen Basis $\begin{eqnarray} e_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, e_{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, ..., e_{n} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \end{pmatrix} mit e_{j}= t^{j} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Kann mir jemand bitte den ersten Schritt verraten?
29.05.2011, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Spalten der Matrix zu einer linearen Abbildung enthalten immer die Bilder der Basisvektoren.
29.05.2011, 19:49	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sagst die Spalten... aber woher weiß ich denn wie viele Spalten ich habe? Müsste ich für t Zahlen einsetzen?
29.05.2011, 23:33	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja dass eine lineare Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} \left[M\right]_{A}^{B} (f) \end{eqnarray}$ aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum m Zeilen und n Spalten hat Und somit kann man das Bild berechnen: $\begin{eqnarray} \left[M\right]_{A}^{B} (f)\cdot x = y \end{eqnarray}$ y= Bildvektor x= Vektor Ist dann x der kanonische Vektor? Bitte um Hilfe....
30.05.2011, 18:00	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn keiner eine Idee?
30.05.2011, 18:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis ist bereits angegeben, es ist die kanonische Basis $\begin{eqnarray} \{e_j=t^j:0\le j \le n\} \end{eqnarray}$ , also hat der Raum $\begin{eqnarray} \Pi_n \end{eqnarray}$ die Dimension n+1, also haben die Matrizen linearer Abbildungen n+1 Spalten.
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30.05.2011, 21:34	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem ersten Fall: Also haben die Matrizen linearer Abbildungen 4 Spalten. uns somit ist j $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 4
31.05.2011, 15:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Ausserdem hat für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi:V\to W \end{eqnarray}$ das Bild eines Vektors aus $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Basisvektoren aus $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Matrix hat also $\begin{eqnarray} dim V \end{eqnarray}$ Spalten und $\begin{eqnarray} dim W \end{eqnarray}$ Zeilen. (Jetzt fang mal an zu rechnen. )
31.05.2011, 17:39	phi123	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmmm ich bin noch nicht ganz im Thema :S Ich muss eine Linearkombination von Basisvektoren erstellen. Ich habe p(t+1) und weiss, dass ich 4 Spalten brauche. Kannst du mir bitte den ersten Schritt verraten
31.05.2011, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, ich verrate dir den ersten Spaltenvektor in der ersten Abbildungsmatrix, alles andere geht analog. $\begin{eqnarray} f: \Pi_3 \to \Pi_3 , p(t) \to f(p(t))=p(t+1) \end{eqnarray}$ bildet den Basisvektor $\begin{eqnarray} e_0=t^0=1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} f(e_0)=f(1)=1=t^0=e_0=1\cdot e_0+0\cdot e_1+ 0\cdot e_2+0\cdot e_3 \end{eqnarray}$ ab, also ist der erste Spaltenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der zweite Schritt geht so: $\begin{eqnarray} f(e_1)=f(t)=t+1=e_0+e_1 \end{eqnarray}$ .

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