Widerspruch zum Satz von Schwarz

29.05.2011, 18:49

El Rey

Widerspruch zum Satz von Schwarz

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich brauche mal einen tipp hierzu

gegeben sei eine funktion $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) = \begin{cases} x_1x_2\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2} & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0} \\ 0 & sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$ man soll nun zeigen das $\begin{eqnarray*} \partial_1 \partial_2 f \neq \partial_2 \partial_1 f \end{eqnarray*}$ kein widerspruch zum satz von schwarz is

Meine Ideen:
der satz von schwarz sagt ja eig das man 2 partielle ableitungen vertauschen darf und wenn man hier 0 einsatzt dann kommt doch auf beiden seiten 0 raus oder nich ??

hat da wer en tipp für mich ???

29.05.2011, 20:06

Abakus

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RE: Widerspruch zum Satz von Schwarz

Zitat:

Original von El Rey
Meine Ideen:
der satz von schwarz sagt ja eig das man 2 partielle ableitungen vertauschen darf und wenn man hier 0 einsatzt dann kommt doch auf beiden seiten 0 raus oder nich ??

hat da wer en tipp für mich ???

Hallo,

den Satz von Schwarz solltest du vollständig mit allen Voraussetzungen betrachten. Und die partiellen Ableitungen müsstest du ausrechnen.

Abakus smile

29.05.2011, 20:18

El Rey

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naja vollständige voraussetzungen sind das f 2 mal stetig partiell differenzierbar is

heißt das dann wenn man zeigt das eine der beiden ableitungen die man da vergleichen soll nich stetig is dann ist es kein widersrpuch zum satz von schwarz ??

29.05.2011, 20:23

Abakus

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Zitat:

Original von El Rey
heißt das dann wenn man zeigt das eine der beiden ableitungen die man da vergleichen soll nich stetig is dann ist es kein widersrpuch zum satz von schwarz ??

Du wirst die Situation hier untersuchen und die part. Ableitungen jeweils ausrechnen müssen. Dann siehst du, ob sie verschieden sind oder nicht und welche Voraussetzungen ggf. verletzt sind.

Dann erst kannst du beurteilen, wie der Satz von Schwarz da reinpasst, denke ich.

Abakus smile

29.05.2011, 21:12

El Rey

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oki dann rechne ich ich die wohl ma aus ne Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \partial_1 \partial_2 f(\vec{0} ) = \begin{cases} \frac{-x_2^6-9x_2^4x_1^2+9x_2^2x_1^4+x_1^6}{(x_2^2+x_1^2)^3} & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0} \\ 0 & sonst\end {cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \partial_2 \partial_1 f(\vec{0} ) = \begin{cases} \frac{-x_2^6-9x_2^4x_1^2+9x_2^2x_1^4+x_1^6}{(x_2^2+x_1^2)^3} & \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \neq \vec{0} \\ 0 & sonst\end {cases} \end{eqnarray*}$

sieht irgendwie gleich aus Big Laugh

und was kann man jez machen ??

29.05.2011, 21:19

Abakus

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Deinen Rechengang kann ich so nicht nachvollziehen, ich vermute, du hast einen falschen Ansatz genommen: wenn du die part. Ableitungen in 0 berechnest, hast du da die "Sekantengrenzwert"-Formel genommen oder was hast du da gemacht?

Abakus smile

29.05.2011, 21:21

El Rey

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ich halt partiell abgeleitet eine variable als parameter festgehalten nach der anderen abgeleitet

29.05.2011, 21:31

Abakus

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Zitat:

Original von El Rey
ich halt partiell abgeleitet eine variable als parameter festgehalten nach der anderen abgeleitet

Wie bist du im Nullpunkt vorgegangen?

Abakus smile

29.05.2011, 21:36

El Rey

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im nullpunkt is mir die funktion als gleich null gegeben was will man da ableiten ??

29.05.2011, 21:45

Abakus

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Zitat:

Original von El Rey
im nullpunkt is mir die funktion als gleich null gegeben was will man da ableiten ??

Beim Ableiten bildest du die Differenz zwischen einem Funktionswert und einem weiteren Funktionswert "in der Nähe" (und das wird dann noch durch was geteilt...). Der erstere ist Null, ja; der letztere aber nicht.

Du musst hier also einen Grenzwert berechnen.

Abakus smile

29.05.2011, 21:49

El Rey

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wie jez ??

stell mal bitte den limes auf

29.05.2011, 21:53

Abakus

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}~ =~ ? \end{eqnarray*}$

So meine ich es, das ist die eine partielle Ableitung im Nullpunkt.

Abakus smile

PS: jetzt bin ich fast noch selbst durcheinander gekommen verwirrt

29.05.2011, 22:29

El Rey

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ich bin schon grad zu blöd das da einzusetzen Big Laugh

aber so eine definition hatten wir gar nich

wir hatten nur $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h\vec{e_i} )-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ aber damit kann ich das auch nich

29.05.2011, 23:10

Abakus

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Zitat:

Original von El Rey
wir hatten nur $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h\vec{e_i} )-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ aber damit kann ich das auch nich

Ja, das ist dasselbe: $\begin{eqnarray*} x=(0, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1 = (1, 0) \end{eqnarray*}$ tut es.

Setze einfach mechanisch ein, was da steht. Dazu brauchst du nur die Definition von f.

Abakus smile

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