Beweis, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist

Neue Frage »

29.05.2011, 23:52	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist Meine Frage: Hallo Leute! Ich soll zeigen, dass die Funktion: $\begin{eqnarray} x \mapsto e^{1/x} \end{eqnarray}$ für x>0 $\begin{eqnarray} x \mapsto 0 \end{eqnarray}$ für x=<0 beliebig oft differenzierbar ist. Meine Ideen: Im Grunde sollte der zweite Part ja logisch sein. Wenn das immer auf 0 abbildet, tut es das auch nach der 4638898 Ableitung noch. Ich denke, davon kann ich ausgehen. Das größere Problem ist der andere Teil. Ich habe versucht, eine Formel zu finden, mit der man alle Ableitungen berechnen kann und die wollte ich dann mit vollständiger Induktion beweisen. Leider kann man diese Formel nicht explizit angeben. Zumindest würde man bei jeder neuen Ableitung einen anderen Term ranmultiplizieren und das kann man nicht zusammenfassen. Vielleicht kann man das auch mithilfe einer Potenzreihe beweisen, aber die habe ich leider nicht wirklich verstanden und bin mir auch gar nicht sicher, wie das geht. Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte und ich bedanke mich schon mal im voraus bei allen, die sich die Zeit nehmen. Vielen Dank! Paradiesvogel
30.05.2011, 00:02	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne mal die ersten 2-3 Ableitungen von e^(1/x). Was fällt dir auf? MfG
30.05.2011, 00:08	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!! Vielen Dank für deine schnelle Antwort, Huy. $\begin{eqnarray} f(x) = e^{1/x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{-e^{1/x}}{x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{e^{1/x}(2x+1)}{x^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{-e^{1/x}(6x^2+6x+1)}{x^6} \end{eqnarray}$ Nun ja, wenn ich ehrlich sein soll, fällt mir nicht wirklich viel auf. Das Vorzeichen wechselt immer, unten steht x^2n und oben immer der Ausgangsterm mit drin. Der Rest wächst recht schnell in ziemliche Höhen, aber lässt sich auch nicht zusammenfassen. Könntest du bitte etwas genauer definieren, was du meintest?
30.05.2011, 00:15	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eigentlich schon alles erfasst, was du erfassen musst. Zeige per Induktion, dass $\begin{eqnarray} f^{(n)} = P_{2n}(x^{-1}) e^{1/x} \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} P_{2n}(x^{-1}) \end{eqnarray}$ ein Polynom von Grad 2n ist. Danach musst du nur noch Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ zeigen. MfG
30.05.2011, 00:32	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm... Wie zeige ich das denn in einer vollständigen Induktion, wenn ich gar nicht weiß, wie mein Polynom aussieht? Ich kann ja anfangen mit dem Induktionsanfang für die Funktion selber (also quasi für n=0). Da habe ich dann ein Polynom 0ten Grades (stimmt das?) und da haut's also. (Induktionsformalia...) Beim Beweis bin ich mir nicht ganz sicher, wie das gehen soll: Ich nehme mir deine Formel für n+1 her: $\begin{eqnarray} f^{(n+1)} = P_{2n+1}(x^{-1}) e^{1/x} \end{eqnarray}$ und baue mir dann die andere Seite mit der Gleichung, indem ich deine Formel ableite: Ähm... Das schreibe ich jetzt mal nicht hier rein. Das würde Stunden dauern. Im Endeffeckt komme ich dann auf: $\begin{eqnarray} e^{1/x}(P'x^{-1}+P(-x^{-2}-x^{-3}) \end{eqnarray}$ . Kann ich da irgendwie auf den Rest schließen?
30.05.2011, 00:44	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung, was du genau beim Ableiten gemacht hast... Der Witz daran ist ja eben, dass du nicht wissen musst, wie das Polynom aussieht, sondern nur, welchen Grad es hat. Alles andere ist völlig irrelevant. Was du also zeigen musst (Induktionsschritt), ist, dass $\begin{eqnarray} (P_{2n}(x^{-1}) e^{1/x})' = P_{2n+1}(x^{-1}) e^{1/x} \end{eqnarray}$ gilt. MfG PS: Ich sollte mal langsam off, hab' ja bald Analysisvorlesung. Hoffe, dass du das noch gebacken kriegst, sonst schau' ich in ~16h nochmal rein.
Anzeige

30.05.2011, 10:39	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ist diese Funktion im Nullpunkt überhaupt nicht differenzierbar, ja nicht mal stetig: Es ist $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\searrow 0} f(x) = \lim\limits_{x\searrow 0} e^{\frac{1}{x}} = \infty \neq 0 = f(0) \end{eqnarray}$ Es ist anzunehmen, dass du das negative Vorzeichen im Exponenten unterschlagen hast, d.h. dass die Funktionsdefinition in Wahrheit $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \;\mbox{für}\; x>0 \\ 0 & \;\mbox{für}\; x\leq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ lautet.
30.05.2011, 10:46	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem! Ich habe nochmal drüber nachgedacht und zweifle grade an der Formel. Müsste da nicht eigentlich stehen: $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \cdot e^{1/x} \cdot P \cdot x^{-2n} \end{eqnarray}$ ? Das ist doch das, was ich jedes Mal rausbekomme und bei deiner Formel kann das ja schon allein wegen dem Minus gar nicht passen. Wenn ich das aber versuche abzuleiten und umzuformen komme ich nicht auf die Induktionsbehauptung. Habe ich da irgendwo einen Denkfehler drin?
30.05.2011, 10:49	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow! Jetzt muss ich vor René Gruber wirklich mal den Hut ziehen!! Ja, du hast recht. Das habe ich vollkommen übersehen. Ich versuche mal, ob ich damit weiterkomme. Vielen, vielen Dank!! Das hätte ich jetzt echt bis zum Ende übersehen.
30.05.2011, 12:06	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Stetigkeit!! Ja, das klappt so. Ich habe das jetzt alles so eingesetzt und durchgerechnet und da fällt es am Ende wirklich wieder auf die Induktionsbehauptung zusammen. Schon krass... Jetzt muss ich doch, wenn ich das richtig verstanden habe noch zeigen, dass die Funktion bei 0 stetig ist. Muss ich das mit der Definition für die Stetigkeit machen, oder geht das auch einfacher?
30.05.2011, 13:06	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst für den Nachweis der Stetigkeit so vorgehen, wie René Gruber das (für die Unstetigkeit) gemacht hat. Dass es eigentlich e^{-1/x} heissen müsste, ist mir auch noch aufgefallen, aber da war es schon spät. ^^ MfG
30.05.2011, 13:21	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok Schön, dass du wieder da bist. Wenn ich dann aber sage: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \rightarrow 0}{e^{-1/x}}=e^{-1/0}=e^{-\infty}=0 \end{eqnarray}$ stimmt das zwar schon, aber damit habe ich doch nur gezeigt, dass die Funktion differenzierbar ist und nicht die ganzen Ableitungen. Sollten die aber nicht alle diffbar sein?
30.05.2011, 13:22	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, du musst es halt für $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) \end{eqnarray}$ zeigen. MfG
30.05.2011, 13:27	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... Naja, das hatte ich mir schon gedacht, aber das geht nicht so einfach. Ich habe dann ja: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \rightarrow 0}{\frac{e^{-1/x} \cdot P_{n-1}}{x^{2n}}} \end{eqnarray}$ und das wird meiner Meinung nach gar nicht 0. Zumindest kriege ich das x nicht aus dem Nenner raus.
30.05.2011, 13:30	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte mal $\begin{eqnarray} e^{-1/x} \cdot P(x^{-1}) \end{eqnarray}$ , wobei P(1/x) ein Polynom beliebigen Grades ist. Warum ist wohl der Grenzwert (für x -> 0) Null? MfG
30.05.2011, 13:35	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Wenn ich den Limes nur auf den Zähler anwende... $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \rightarrow 0}{e^{-1/x} \cdot P_{n-1}}=e^{-1/0} \cdot 0 = e^{- \infty} = 0 \end{eqnarray}$ Dann steht da zwar 0/0 da, aber das ist auch nicht 0, sondern nicht definiert.
30.05.2011, 13:39	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schonmal was von der Regel von L'Hospital gehört? MfG
30.05.2011, 13:43	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Ja habe ich, aber dann müsste ich ja unten 2n mal ableiten, bis ich überhaupt was berechnen kann und dann weiß ich noch immer nicht, ob das oben noch 0 ist.
30.05.2011, 13:51	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das war auch irgendwie ein Denkfehler von mir. Sorry. Habt ihr folgende Behauptung gezeigt? Für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} n^k x^n = 0. \end{eqnarray}$ MfG
30.05.2011, 14:00	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
? Ich bin mir nicht sicher, aber wenn, dann ist es mir grade nicht mehr im Kopf. Zumindest kommt es mir nicht wirklich bekannt vor. (Ich bin dann auch erstmal in der Uni und in ein paar Stunden wieder da.) Vielen Dank, dass du mir so hilfst!!

Neue Frage »

Antworten »

Beweis, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist

Verwandte Themen