Ideale, Primideale, Maximale Ideale

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fikus Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale, Primideale, Maximale Ideale
Hallo hab folgende Aufgabe:
Sei d aus Z und d größer gleich 2. Bestimmen sie alle Ideale, Primideale und maximale Ideale in dem Ring Z/dZ.

Also ich weiß auf jeden fall das alle ideale in Z Primideale sind und diese die nicht gleich dem NUllideal sind auch maximale Ideale sind.
Ich kann mir gerade nichts unter dem Ring vorlstellen.
Meint Z/dZ etwa das Z mod d*Z
das heißt das das zweite Z immer d mal so groß ist wie das erste oder so?^^

würde mich über eure Hilfe freuensmile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale, Primideale, Maximale Ideale
Nimm doch einmal d=3, dann ist der Ring , also besteht aus den Restklassen modulo 3, ein Element aus Z hinterlässt bei Division durch 3 die Reste 0,1 oder 2.

Wie schauen die Ideale in diesem Ring aus?

Dann betrachte den Ring für d=4 und schaue dir die Ideale an, was fällt dir auf?
 
 
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

bei d gleich 3 sind die Ideale die trivialen null und der ring Z3 selber

bei d=4 gibt es glaube ich die reste 0,1,2,3 und die ideale {0},{0,2} und der ring selber Z/4

auffallend ist das die reste immer von null bis d-1 gehen

bei den idealen denke ich sind mir bist jetzt nur die trivialen aufgefallen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die möglichen Reste 0,1,...,d-1 sind sollte klar sein, und auch warum, weil d selbst den Rest 0 hinterlässt.

Dir ist zu recht aufgefallen, dass es im Ring nur ein echtes von 0 verschiedene Ideal gibt, nämlich das von 2 erzeugte Hauptideal.

Was unterscheidet die 2 von den anderen Repräsentanten der Restklassen in ?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

die zwei ist eine gerade zahl und der einzige nullteiler in Z/4
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, wir können also sagen, dass in das einzige echte von Null verschiedene Ideal erzeugt wird durch die Restklasse, die nicht Teilerfremd zu 4 ist.

Versuche nun, eine allgemeingültige Aussage zu formulieren.
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

naja also sind die ideale alle die, die durch d teilbar sind
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

oder eher gessagt die d ohne rest teilen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fikus
naja also sind die ideale alle die, die durch d teilbar sind


verwirrt nehmen wir doch einmal unser Beispiel, ist 2 durch 4 teilbar?

Zitat:
Original von fikus
oder eher gessagt die d ohne rest teilen


Ebenso unschlüssig, teilt die 2 die 4 ohne Rest? verwirrt

Wir haben doch richtig herausgefunden, dass zum Beispiel in das einzige echte Ideal erzeugt wird von der 2, und die 2 ist das einzige Element aus für das gilt also die einzige zu 4 nicht teilerfremde Zahl.

Nimm nun ein beliebiges d, was denkst du sind die Erzeuger der Hauptideale von ?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

die trivialen und die mit a aus Z/d für die gilt ggT(a,d) ungleich 1
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Jetzt kommen zwei Sätze, die dementsprechend wichtig sind:

1.)"Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn R / I ein Integritätsring ist."

2.)"Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn R / I ein Körper ist."

In dem Ring Z sind die Aussagen (für ein Ideal ungleich 0) I ist Primideal, I ist maximales Ideal äquivalent zueinander.
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt die beiden sätze hatten wir schon in der vorlesung und acuh bewiesen

also ist ein maximales ideal in dem fall immer ein primideal . und ein primideal ist laut definition

P aus C primideal P ungleich C , für alle a,b aus C folgt mit a*b aus P, dass a aus P oder b aus P

so jetzt muss ich das nur noch auf den vorliegenden restklassenring anwenden und ich bin feritg oder?

wenn ja wie überlege ich mir das dann hier wieder? ein element aus dZ wählen und eins aus Z?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ganz einfach zeigen, dass alle Ideale in die Form (n) haben (also Hauptideale sind) mit n|d.

Hast du dazu einen Ansatz?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

also ich kenne den satz:
a kongruent b mod m äq. zu m teil (a-b)

mit beweis


meinst du so etwas?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das benötigen wir nicht.

Ein Ideal ist eine additive Untergruppe des Ringes (sollte klar sein).

Wenn man die Definition der Multiplikation ausnutzt und die Tatsache, dass ein Ideal eine Untergruppe bzgl. + ist, kann man das zeigen.

Ich weiß aber nicht, ob das Bestandteil der Aufgabe ist, oder ob man stumpf einfach nur die Ideale angeben soll.
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

ja kla ideale halt angeben was wir schon gemacht haben.

jetzt nur noch die primideale und die maximalen

da wir wissen das in diesem fall die primideale die maximalen sind bleibt nur noch zu zeigen was die primideale sind

ich denke das die anforderung der aufgabe darin besteht das ganze halt einmal ein wenig verallgemeinert zu zeigen, das heißt man hat keinen konkreten ring wie Z/4 sondern einen variablen Z/d.

also fehlen nur noch die Primideale... die definition für Primideale ist mir bekannt die habe ich ja oben weiter shcon einmal hingeschrieben nur wie beziehe ich das jetzt auf diesen etwas allgemeineren fall?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen also, wie die Ideale aussehen, und das alles Hauptideale sind.

Die beiden vorhin aufgeschriebenen Sätze helfen uns dabei, die maximalen und Primideale zu finden.

Ein Integritätsbereich hat keine Nullteiler, was wissen wir über Nullteiler in Restklassenringen?

Wie schauen die aus?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

a*b=0, b ungleich 0

bei Z/4 ist das zB nur die 2

ein ring heißt nullteilerfrei, wenn er keine nullteiler außer die 0 besitzt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt sollte es doch kein Problem sein, die Primideale anzugeben.
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

also ich weiß nciht wie ich das hinschreiben soll das das auch begründet ist...

meine vermutung ist, dassdie primideale alle die von Primzahlen erzeugten ideale sind..

aber wie zeigt man das jetzt und ist das überhaupt richtig?^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Lass uns einmal damit beginnen, die maximalen Ideale zu bestimmen, ob es dann noch weitere Primideale gibt lassen wir erst einmal außen vor.

Wir können dazu den Satz benutzen, dass ein Ideal dann maximal ist, wenn R/I ein Körper ist.

Betrachte einmal unser Beispiel Z_4 und das von 2 erzeugte Ideal, ist Z_4/(2) ein Körper?

Dann betrachte einmal den Z_12, welche Ideale hat er? Welches sind maximale Ideale?
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