nichttrivialer Kern, L^s-uniform

30.05.2011, 11:15

toasten

nichttrivialer Kern, L^s-uniform

Hallo,

in einem Artikel, den ich gerade durcharbeite, kommen zwei Begriffe/Aussagen vor, mit denen ich nicht ganz was anfangen kann.
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.

1.
Betrachtet wird das Problem
$\begin{eqnarray*} \sup_{ \underset{|\vec{p}|_s \leq \alpha \text{a.e. in } \Omega}{\vec{p} \in L^2(\Omega)} } - \frac{1}{2} ||| div \vec{p} + K^*z |||^2_{H^{-1}} + \frac{1}{2}\|z\|^2_{L^2} \end{eqnarray*}$

Es wird gesagt, dass das Problem nicht eindeutig ist, da der Divergenz-Operator einen nichttrivialen Kern hat (nontrivial kernel).
Ich weiß leider nicht genau, was das bedeutet?

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein offenes, beschränktes Gebiet, $\begin{eqnarray*} z \in L^2\left(\Omega\right) \end{eqnarray*}$ und K ein stetiger linearer Operator von $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ die zu K adjungierte.
Zudem ist $\begin{eqnarray*} ||| v |||_{H^{-1}} = \left\langle H_{\mu,K}v,v \right\rangle_{H_0^1,H^{-1}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} H_{\mu,K} = \left( K^* K - \mu \Delta \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{H_0^1,H^{-1}} \end{eqnarray*}$ das Dualitätsprodukt.

2.
Aus dem Grund der Nicht-Eindeutigkeit wird die Tikhonov-type Regularisierung angewandt:

$\begin{eqnarray*} \sup_{ \underset{|\vec{p}|_s \leq \alpha \text{a.e. in } \Omega}{\vec{p} \in L^2(\Omega)} } -\frac{1}{2} ||| div\vec{p} + K^*z |||^2_{H^{-1}} + \frac{1}{2}\|z\|^2_{L^2} - \frac{\gamma^{s-1}}{s \alpha^{s-1}} \| \vec{p} \|^s_{L^s} \end{eqnarray*}$

von dem Zielfunktional wird nun behauptet, dass es $\begin{eqnarray*} L^s \end{eqnarray*}$ -uniform ( $\begin{eqnarray*} L^s \end{eqnarray*}$ -uniformly) und konkav ist.

Kann mir jemand netterweise sagen, was unter der $\begin{eqnarray*} L^s \end{eqnarray*}$ -Uniformität zu verstehen ist.

Vielen Dank im Voraus.
Grüße
Toasten

30.05.2011, 14:26

Mazze

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Unabhängig davon dass ich vom dem genauen Fachgebiet wenig Ahnung habe :

Zitat:

Ich weiß leider nicht genau, was das bedeutet?

Der Kern einer Abbildung sind alle Elemente des Urbildraumes die auf 0 abgebildet werden. Man spricht von einem nichttrivialen Kern, wenn es mindestens ein Nichtnullelement des Urbildraumes gibt, was auf die Null abgebildet wird.

Für die Divergenz etwa : Ist f eine konstante Funktion, so ist $\begin{eqnarray*} div f = 0 \end{eqnarray*}$ . Sprich, jede konstante Funktion wird auf die 0-Funktion abgebildet. Daher hat die Divergenz einen nichttrivialen Kern.

Was die Uniformität angeht : Ich kann mir vorstellen dass dabei der topologische Begriff gemeint ist (uniform operator topology) : Siehe hier.

31.05.2011, 23:23

toasten

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Hallo,

danke für deine Antwort.

Bezüglich der Uniformität: Das habe ich falsch gelesen im Artikel. Es heißt "L^s-uniformly concave" - also gleichmäßig konkav.
Und L^s bezieht sich auf den Raum, in dem es gilt.

Viele Grüße,
Toasten

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