Allgemeine Lösung einer DGL

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30.05.2011, 11:23	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Lösung einer DGL Meine Frage: Moin, im Rahmen einer Hausübung soll ich die allgemeine Lösung folgender DGL bestimmen: $\begin{eqnarray} y'+\left(\frac{y}{x}\right)^{2} = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Im Aufgabentext steht, dass man nach geeigneter Substitution mittels Trennung der Veränderlichen "bequem" auf die Lösung kommt. Meine Ideen: Ich hatte nun folgende Substitution ausprobiert: $\begin{eqnarray} u=\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ Nur komme ich damit auf ein relativ unangenehmes Integral. Hab ich vielleicht falsch substituiert? Würde mich über jede Hilfe freuen
30.05.2011, 13:23	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich hab es mal gelöst, aber so einfach war das garnicht. Du kannst du Substitution machen, damit hab ich es auch geschafft. Wie weit hast du denn schon gerechnet? Bist du schon bei der Partialbruchzerlegung angekommen? Gruß Johnsen
30.05.2011, 14:01	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hab die PBZ gemacht! hab dann folgendes da stehn: $\begin{eqnarray} ln(x)+C_{1} = \frac{1}{2} ln(u+\frac{3}{2}) - \frac{1}{2} ln(u-\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ hab dann vereinfacht und folgendes raus: $\begin{eqnarray} x^{2} +C_{1} = \frac{u+\frac{3}{2} }{u-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ dann noch die brüche zerstückelt: $\begin{eqnarray} x^{2} +C_{1} = \frac{3}{u} - 2u - 2 \end{eqnarray}$ Mein prof hat letzte woche in der vorlesung so eine aufgabe vorgerechnet und hat dann einfach hingeschrieben, dass man es nicht weiter auflösen kann.. ich soll jetzt allerdings in der hausübung noch 2 AWPe lösen hab mal einen screenshot von den aufgaben gemacht und hochgeladen.. vielleicht hilfts ja...
30.05.2011, 14:12	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ln(x)+C_{1} = \frac{1}{2} ln(u+\frac{3}{2}) - \frac{1}{2} ln(u-\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ Soweit richtig, wenn du aber die e-Funktion darauf löslässt wird aus der linken Seite $\begin{eqnarray} x^{2} \cdot C_{2}^2= \frac{u+\frac{3}{2} }{u-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ wenn du es so auffasst: $\begin{eqnarray} C_2\,:=\, e^{C_1} \end{eqnarray}$ denn e hoch einer Konstante C1 ist eine neue Konstante C2. Und es muss * heißen, da gilt: $\begin{eqnarray} e^{ln(x)+C_1}\,=\,e^{ln(x)}\cdot e^{C_1} \end{eqnarray}$ nachdem du das gemacht hast, resubstituierst du und löst nach y auf, denn wir wollen ja wissen was y ist! Gruß Johnsen
30.05.2011, 14:27	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das mit den Konstanten hab ich richtig, war nur ein tippfehler Ich weiß halt nur nich wie ich rücksubstituieren soll wenn ich die DGL nicht nach u(x) auflösen kann
30.05.2011, 14:29	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
setz doch einfach für u wieder y/x ein und lös dann nach y auf!
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30.05.2011, 14:32	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben das bis jetzt in den Vorlesungen und Übungen immer anders gemacht, aber ich probiers mal so und zeigs dem Prof morgen früh mal! Werd mich dann aber eventuell nochmal an dich wenden müssen
30.05.2011, 14:45	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ehrlich zu sein versteh ich dein Problem nicht ganz Du kannst sowohl diese Gleichung $\begin{eqnarray} x^{2} \cdot C_{2}^2= \frac{u+\frac{3}{2} }{u-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ nach u auflösen, also auch in dieser Gleichung u=y/x einsetzen und dann nach y auflösen.
30.05.2011, 18:09	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab ja soweit wie folgt vereinfacht: $\begin{eqnarray} x^{2} C_{1} = \frac{3}{u} - 2u - 2 \end{eqnarray*}$ wie kann ich denn diese gleichung umformen, sodass nur noch 1x u vorkommt?
30.05.2011, 18:13	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, hab einen fehler im rechenschritt. vergiss den letzen post
30.05.2011, 18:53	Me11	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nun endlich die allgemeine Lösung der DGL $\begin{eqnarray} y_{x} = \frac{1}{2}x + \frac{2x}{x^{2}\cdot C_{5} -1 } \end{eqnarray}$ Dafür weiß ich nicht was die 2 singulären Lösungen der DGL sind

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