Verständnisfragen zum Satz von Gauß

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Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfragen zum Satz von Gauß
Bei uns in der Algebra Vorlesung haben wir dies ein einen der Sätze von Gauß beschrieben:

Zitat:
Der Polynomring über einem faktoriellen Ring ist ein faktorieller Ring.


Ich bin momentan auf der Suche nach einem Beispiel, um diese Aussage zu verinnerlichen.

Zunächst brauche ich einen faktoriellen Ring: http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorieller_Ring


ist ein Polynomring.
Aus dem Satz müsste dann gelten:
ist ein faktorieller Ring, weil ein faktorieller Ring.

Stimmt das so?

Hat jemand noch ein paar Beispiele parat, an denen das noch mehr klar wird? Vielleicht sogar was mit endlichen Integritätsringen?

Edit (jester.): Tippfehler behoben
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zum Satz von Gauß
Zitat:
Original von Zitrone21
Stimmt das so?

Ja.

Zitat:
Original von Zitrone21
Hat jemand noch ein paar Beispiele parat, an denen das noch mehr klar wird? Vielleicht sogar was mit endlichen Integritätsringen?

Naja, ein endlicher Integritätsring ist schon ein endlicher Körper. Und da lassen sich ganz schnell Beispiele finden, wie wäre es mit mit Primzahl?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zum Satz von Gauß
Zitat:
Original von Zitrone21
Zunächst brauche ich einen Faktorring: http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorieller_Ring

Um ein wenig pingelig zu werden: ein Faktorring ist (konzeptionell) etwas anderes. Ich vermute mal, Euch ist das sowieso klar, aber ich wollte es für die Leserschaft der Nachwelt kurz anmerken. smile
Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja klar. Ich wollte eigentlich faktorieller Ring statt Faktoring schreiben. (Ich schreib mal den Moderatoren)



@Mulder: Danke.
Ich hatte an einen Integritätsring gedacht. Ein endlicher Integritätsring ist ein Körper, das stimmt. Aber ich benötigte ja die Eigenschaft, das der Ring faktoriell ist. In welchem Zusammenhang stehen denn Integritätsringe, endliche Integritätsringe und die Eigenschaft faktoriell? Kann ich von einem Körper auf die Eigenschaft faktoriell schließen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zitrone21
Kann ich von einem Körper auf die Eigenschaft faktoriell schließen?

Ja, ein Polynomring über einem Körper K ist immer ein faktorieller Ring, falls du das meinst. Natürlich ist auch ein Körper ein faktorieller Ring.

Zitat:
Original von Zitrone21
In welchem Zusammenhang stehen denn Integritätsringe, endliche Integritätsringe und die Eigenschaft faktoriell?

Schau vielleicht nochmal in der Wikipedia nach, da werden diese Zusammenhänge doch aufgegriffen. Endliche Integritätsringe sind immer faktoriell, das hatten wir ja schon. Und ein Integritätsring braucht eben eine eindeutige Zerlegung in Primelemente, um faktoriell zu sein, das ist nicht immer gegeben, ein Beispiel findet sich ebenfalls auf der Wiki-Seite. Umgekehrt ist aber natürlich jeder faktorielle Ring auch ein Integritätsring.

Vielleicht hilft auch ein kleines Schaubild mit diversen Implikationen:

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