Trisomie 21 - bedingte Wahrscheinlichkeit

30.05.2011, 12:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Trisomie 21 - bedingte Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Trisomie 21 ist eine genetische Anomalie, deren Träger das Chromosom Nr. 21 dreifach besitzen. Die auch als Down-Syndrom bezeichnete Ausprägung kann durch eine Fruchtwasser-Untersuchung (Amniozentese) pränatal (d.h. vor der Geburt) festgestellt werden. Dieses diagnostische Verfahren hat eine hohe Zuverlässigkeit. Das Untersuchungsergebnis ist positiv in 99% aller Fälle, in denen Trisomie 21 vorliegt. In 99% aller Fälle, in denen der Fötus nicht vom Syndrom betroffen ist, ist der Befund richtigerweise negativ. Die Häufigkeit des Down-Syndroms hängt stark vom Alter der Mutter ab: In der Altersklasse der 25-jährigen Mütter ist lediglich einer von 1250 Föten hiervon betroffen, während es in der Gruppe der 43-jährigen immerhin bei einem von 50 Föten auftritt. Wenn die Amniozentese positiv ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt sich um das Down-Syndrom? Bestimmen diese Wahrscheinlichkeit für Mütter im Alter von 25 und Mutter im Alter von 43 Jahren. Meine Ideen: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn auch tatsächlich Trisomie 21 vorliegt, ist $\begin{eqnarray} p=0,99 \end{eqnarray}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, obwohl das Kind eigentlich keine Trisomie 21 hat, ist $\begin{eqnarray} q=0,01 \end{eqnarray}$ . Modell für die Aufgabe: $\begin{eqnarray} \Omega=\left\{0,1\right\}^2 \end{eqnarray}$ , wobei ein $\begin{eqnarray} (\omega_1,\omega_2) \end{eqnarray}$ Folgendes bedeuten soll: $\begin{eqnarray} \omega_1=1\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Kind hat Trisomie 21 $\begin{eqnarray} \omega_1=0\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Kind gesund $\begin{eqnarray} \omega_2=1\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Test positiv $\begin{eqnarray} \omega_2=0\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ Test negativ Dann ist $\begin{eqnarray} A=\left\{(0,1),(1,1)\right\} \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass das Testergebnis positiv ausfällt (egal, ob das Kind wirklich Trisomie 21 hat). Und $\begin{eqnarray} B=\left\{(1,0),(1,1)\right\} \end{eqnarray}$ bezeichnet das Ereignis, dass das Kind Trisomie 21 hat (egal, ob der Test positiv ausfällt oder nichts anzeigt). Dann folgt mit den Angaben der Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray} P(A\|B)=p=0,99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A\|B^{C})=q=0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B)=\frac{1}{1250} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} P(B)=\frac{1}{50} \end{eqnarray}$ Gesucht ist $\begin{eqnarray} P(B\|A) \end{eqnarray}$ . Dies kann man mit dem Satz von Bayes berechnen: $\begin{eqnarray} P(B\|A)=\frac{P(A\|B)\cdot P(B)}{P(A\|B)\cdot P(B)+P(A\|B^{C})\cdot P(B^{C})}=\frac{p\cdot \frac{1}{n}}{p\cdot \frac{1}{n}+q\cdot \frac{n-1}{n}}=\frac{p}{p+q\cdot (n-1)} \end{eqnarray}$ Somit bekomme ich dann: I. Mütter mit 25: $\begin{eqnarray} P(B\|A)=\frac{0,99}{0,99+0,01\cdot 1249}\approx 0,073442 \end{eqnarray}$ II. Mütter mit 43: $\begin{eqnarray} P(B\|A)=\frac{0,99}{0,99+\cdot 0,01\cdot 49}\approx 0,668919 \end{eqnarray}$ Wer kann mir sagen, ob ich richtig liege?
30.05.2011, 12:52	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trisomie 21 - bedingte Wahrscheinlichkeit Sieht soweit richtig aus
30.05.2011, 13:04	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trisomie 21 - bedingte Wahrscheinlichkeit

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