Kreis / Kugel bestimmen an zwei Punkten inkl. Normale

30.05.2011, 15:44

De Bourgh

Kreis / Kugel bestimmen an zwei Punkten inkl. Normale

Meine Frage:
In einer meiner Vorlesungen behandeln wir zur Zeit Krümmungen im 3-Dimensionalen Raum sowie approximierte Krümmungen an Dreiecksnetzen.

Aufgabe ist es nun, zu zwei gegebenen Punkten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ und einer beliebigen gegebenen Vertexnormalen $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ den Kreis zu ermitteln, der durch $\begin{eqnarray*} x_i,x_j \end{eqnarray*}$ verläuft und dessen Normale im Punkt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gleich der Vertexnormale $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war nun (da wir ja im 3D rechnen), anstatt einem Kreis eine Kugel an die zwei Punkte anzulegen, denn der Kreis, den wir berechnen sollen, ist ja Element der Kugel, die wir stattdessen auf die Punkte legen.

Was wir brauchen sind dann die Mittelpunktkoordinaten der Kugel sowie den Radius. Und ein Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ja dann ein Element einer Kugel, wenn
$\begin{eqnarray*} | a - m | = r \end{eqnarray*}$ gilt.

Also heißt das bei meiner Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} | x_i - m | = r | x_j - m | = r \end{eqnarray*}$

Weiterhin soll ja die Normale $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ gleichzeitig Normale der Kugel im Punkt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sein. Nun weiß ich nicht, welcher Ansatz sinnvoller ist:
Entweder man sagt, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{n_i}{|n_i|} = \frac{(x_i - m)}{r} \end{eqnarray*}$
(Einheitsnormalenvektor $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ ist gleich Einheitsvektor zum Punkt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ausgehend)

oder dass

$\begin{eqnarray*} n_i = t * (x_i - m) \end{eqnarray*}$
(Normalenvektor ist ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} x_i - m \end{eqnarray*}$ )

Letzenendes hätten wir dann folgende Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} (x_{i,x} - m_x)^2 + (x_{i,y} - m_y)^2 + (x_{i,z} - m_z)^2 = r^2 (x_{j,x} - m_x)^2 + (x_{j,y} - m_y)^2 + (x_{j,z} - m_z)^2 = r^2 n_{i,x} = t*(x_{i,x} - m_x) n_{i,y} = t*(x_{i,y} - m_y) n_{i,z} = t*(x_{i,z} - m_z) \end{eqnarray*}$

Hier bin ich stehen geblieben und weiß nicht, das ganze sinnvoll zu lösen bzw. welche Gleichung ich mit einer anderen schlau ersetze.
Ich bin jede Hilfe dankbar.

Gruß
De Bourgh

30.05.2011, 20:24

Abakus

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RE: Kreis / Kugel bestimmen an zwei Punkten inkl. Normale
Hallo,

vielleicht geht es ja schon elementargeometrisch, die beiden Punkte nenne ich x und y hier (wozu die verwirrenden Indizes?):

Gesucht ist der Mittelpunkt M des Kreises.

Dieser liegt auf der Normalengerade durch x (die Gleichung dazu kannst du hinschreiben, wenn du x und Richtungsvektor=Normale hast).

Zusätzlich hat M von x und y denselben Abstand, liegt also auf der Ebene zwischen x und y: zu dieser Ebene hast du die Normale, das ist x-y, und du kennst einen Punkt, nämlich 1/2 * (x + y). Damit kannst du die Ebenengleichung aufstellen.

Letzter Schritt ist dann M als Schnittpunkt von Ebene und Gerade zu bestimmen, das ist einfache Kost.

Abakus smile

31.05.2011, 04:11

De Bourgh

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RE: Kreis / Kugel bestimmen an zwei Punkten inkl. Normale
Ah ja. Das sieht recht logisch und wesentlich einfacher aus. Erst ma Danke smile

Meine Ebene E wäre dann definiert durch $\begin{eqnarray*} E(\alpha,\beta) = (x + \frac{1}{2}(x-y))+\alpha*u + \beta*v \end{eqnarray*}$
wobei u und v dann ja die Spannvektoren der Ebene sind.

u und v krieg ich dann ja durch das Kreuzprodukt oder Skalarprodukt heraus.
Gibts da ne Methode, die sinnvoll zu wählen.

Ich mein, man kann sich da ja einige "ausdenken", allerdings sind meine eher unschön zum weiterrechen.
Fürs Skalarprodukt heißt das denn ja:

$\begin{eqnarray*} 0 = u\cdot(x-y) \end{eqnarray*}$ ==>
$\begin{eqnarray*} u_x = \frac{1}{x_x-y_x} u_y = 0 u_z = \frac{1}{x_z-y_z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_x = \frac{1}{x_x-y_x} v_y = \frac{1}{x_y-y_y} v_z = 0 \end{eqnarray*}$

Geht das noch schöner sag ich mal oder bleibt mir da nich mehr viel übrig?

02.06.2011, 16:29

Abakus

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RE: Kreis / Kugel bestimmen an zwei Punkten inkl. Normale

Zitat:

Original von De Bourgh
Fürs Skalarprodukt heißt das denn ja:

$\begin{eqnarray*} 0 = u\cdot(x-y) \end{eqnarray*}$ ==>

$\begin{eqnarray*} u_x = \frac{1}{x_x-y_x} \end{eqnarray*}$

Durch Vektoren zu teilen bei einem Skalarprodukt geht absolut nicht. Du bewegst dich in einem Vektorraum, aber nicht in einem Körper. Oder verstehe ich deine Überlegung da nicht?

Für die Ebenengleichung bietet sich die Hesse'sche Normalenform an.

Abakus smile

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