Desarguessche Ebene

30.05.2011, 16:07	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Desarguessche Ebene Meine Frage: Zeigen Sie, dass für einen beliebigen (kommutativen) Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ die klassische projektive Ebene (Desarguessche Ebene) $\begin{eqnarray} PG(2,K) \end{eqnarray}$ selbstdual ist. Meine Ideen: Es gilt ja $\begin{eqnarray} PG(2,K)=(G_1(K^3), G_2(K^3), \subseteq) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} G_k(V) \end{eqnarray}$ die Menge der k-dimensionalen Unterräume des Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist. Aber wie ich da jetzt ansetzten soll, versteh ich noch nicht.
30.05.2011, 23:39	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Tobiass, Sind dir keine "schönen" Operationen bekannt, die die Menge der k-dimensionalen Unterräume eines n-dimensionalen K-Vektorraums bijektiv auf die Menge n-k-dimensionalen Unterräume abbilden? Selbstdual heißt wahrscheinlich, dass die duale Struktur (Vertauschung von Schnitt und Geradenbildung, Geraden und Punkten) der Struktur selbst entspricht, genau? Gruß, Carsten
31.05.2011, 08:27	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das ist mit selbstdual gemeint. Aber das mit der bijektiven Abbildung ist halt noch das Problem...
31.05.2011, 19:08	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich brauchst du ja eine Abbildung, die selbstinvers ist und Schnitt und Summenbildung ineinander überführt. Überdies eindimensionale in zweidimensionale Unterräume überführt, und umgekehrt. Kleiner Tipp: Mindestens auf dem klassischen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ hast du z.B. eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform.

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